Topic:微分・積分の考え

この教材はTopic:高校の数学の一部です。

極限

1を半分にすると0.5になる。0.5を半分にすると0.25、0.25を半分にすると0.125、0.125を半分にすると0.0625、…になる。

これを表にまとめると次のようになる。

n	1/n
1	1
2	0.5
4	0.25
8	0.125
16	0.0625
32	0.03125
64	0.015625

よく「半分の半分の半分」などというが、それは1/8のことであり、もとの数の0.125倍を指しているということである。

ここで注目すべきは、どんどん数を半分にしていくと、その数は0に近づいていくということである。このことは次のように書ける。

${\frac {1}{2}}$ × ${\frac {1}{2}}$ × ${\frac {1}{2}}$ × … = 0

あるいは指数法則により${\frac {1}{2}}$をn回かけたものは${\frac {1}{2^{n}}}$になるから、そのnを増やすと0に近づくという意味で、次のようにも書ける。

${\frac {1}{2^{n}}}\to 0\quad (n\to \infty )$

同じことを次のようにも書く。

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2^{n}}}=0$

ここで注意しなければならないのは、これはnを増やすと${\frac {1}{2^{n}}}$は0に近づくという当たり前のことをいっているだけで、nが無限大になると${\frac {1}{2^{n}}}$は0になるなどといっているわけではない（無限大になるという言葉の意味は不明確である）。とくに、${\frac {1}{2^{\infty }}}$という計算をしているわけではない。∞は数ではなく、ここでは単にnを増やしていくという意味で使われているだけである。