「Topic:微分積分学/研究」の版間の差分
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== 変分法について ==
== 曲線の集団は曲面と見なすべきかも？ ==▼
以下の理論は、変分法を意識した仮説（かも？）である。
▲=== 曲線の集団は曲面と見なすべきかも？ ===
たとえば、曲線族 （曲線の集まりのことを曲線族という）
:ｙ（ｘ） = Cｘ （Cは任意定数） ・・・①
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三次間数の集合でも同類の議論ができて、一変数の関数の集合を二変数関数とみなすこともできる。
また、任意定数が２つ以上の場合も、同様の議論によって、一変数関数の集合を、他変数関数とみなせる。
=== 変分法を意識して、作用素を仮定 ===
グラフ上で関数 ｙ（ｘ）の形を動かして、別の形の関数を作ることを考える。
形を変えて新しく作った関数を Nｙ とかくことにする。このとき、関数の形を変える作用素を Ｎ とおく。
たとえば
ｙ＝2x を変形させて y＝x－５ という関数を作った場合は、
:Ny＝ｘ－5 と書くする。
この場合の変動量は Ny－y である。これを
:（N－1）y
書くとしよう。
ｙ＝2x から y＝x－５ への変形の場合、変動量の計算には、代入をすればいいだけである。
:Ny－y＝（x－５）－（2x）＝－３ｘ＋５
なので、つまりｙを －３ｘ＋５ だけ動かせば、Ｎｙをつくれる。この関数を動かした量、Nｙ－ｙ を δｙとおくことにする。
つまり、定義より
:δ＝Ｎ－１
である。
いっぽう、 ｙ＝２ｘを微分すれば、ｙ´＝2
Ny を微分すれば、この問題でのNy＝ｘ－5 の条件の場合、
:<math> \frac{\partial (Ny)}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(-x+5)=1</math>
このとき、導関数は
:（Nｙ）´ －ｙ´＝－１－２＝－３
よって導関数はｙ´から－３だけ動いたことになる。
このとき、Ｄ（Ｎｙ）とは、
:ｙ＝２ｘ に Ｎ を作用させ、変化させた新関数 Nｙ ＝－ｘ＋５ を（ｘ、ｙ）平面上で作ってから、
Ｄで微分して、
微分されたＤ（Ｎｙ）＝（－ｘ＋５）´＝ －１を、（ｘ、ｙ´）上に持ってきたものである。
ここで、仮に、
:ＤＮｙ＝ＮＤｙ
:にするためには、どう設定すればよいか。
ＮＤｙの意味を考えると、これは、
微分と新関数作成の順序を変えてみて、
ｙを微分したＤｙ＝ｙ´＝（２ｘ）´＝２ を（ｘ、ｙ´）グラフ上に持ってきて、
この（ｘ、ｙ´）上の関数 Ｄｙ に Ｎを作用させて、
:Ｎ（Ｄｙ）＝－１ を得たものとも見ることができる。
つまり、関数ｙの導関数ｙ´を変化させるとき、ｙを変化させずに ｙ´ だけ動かすことは、普通はできないから、（ｘ、ｙ´）上の変化は、（ｘ、ｙ）平面上の変化と
:ＤＮ＝ＮＤ の関係で結ばれるとすればよいのである。
ともかく、作用素Ｎと微分作用素Ｄが、可換だとする。つまり、ＤＮ＝ＮＤだとする。 このとき δ＝Ｎ－１ と Ｄ も可換である。実際に
:Ｄ（δｙ） ＝ Ｄ（Ｎ－１）ｙ ＝ ＤＮｙ － Ｄｙ ＝ ＮＤｙ － Ｄｙ
:＝（Ｎ－１）Ｄｙ ＝ δＤｙ
よって
: Ｄδ ＝ δＤ
:（説明、おわり）
（・・・という事らしい。昔、自分が書いた自主レポート（未発表）を元にしてるので、詳しいアイデアは忘れた。）
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