すじにくシチュー

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研究中レポート置き場

角度の行列表示での、転置行列から派生するベクトルの正体は何か？

--すじにくシチュー (トーク) 2015年2月16日 (月) 00:09 (UTC)

まず二次元空間での角の場合、ある角をなす線分の行列式の表示は、外積として明確な意味を持つ。さて、行列を転置しても、行列式の計算結果は、不変である。ここで疑問が湧く。ある角をなす2線分について、その線分自体の向きのベクトル2個とは別に、さらに転置行列から派生するベクトル2個が存在しているのである。この転置派生ベクトルの正体は何か？

さて、3次元空間内での「2次元の面」（通常の面）については、法線ベクトルで面の向きを代表できるのであった。4次元空間内の図形の場合でも、線形代数の理論にもとづき、「3次元の面」に法線ベクトルは存在する。なぜなら、線形代数では、法線とか直交とかの定義は、内積が0になることや、そのようなベクトルに過ぎない。だから、4次元空間内の3次元の面でも、法線は存在する。また、「3次元の平面」と呼べるものも存在する。つまり、法線によって、面が定義できる。まあ、このような面の定義の拡張は、既に先人たちによって研究済みであろう。また、「面」の次元の値は、空間の次元の値よりも1だけ小さい。3次元空間内では2次元の「平面」が存在した。4次元空間内では3次元の「平面」が存在できた。つまりn次元空間内では、面は n－1 次元である。

ならば、2次元空間内では、空間の次元は n=2 だから、「2次元空間内での面」とは、n－1=1より単なる線分である。この線分が、「1次元の平面」である。ある「1次元の平面」の法線とは、ある線分の法線に過ぎない。そして、２次元空間内の角度は、その2線分のなす角度であるが、その2線分の法線のなす角度でもあった。つまり、2次元では厳密に、「角度」の定義については、法線のなす行列および行列式によって、またはその派生物によって、「角度」を定義できる。

さて、この2次元空間内の「角度」の行列表示についても、転置派生が定義できるのであった。この転置派生の正体はともかく、この転置ベクトルによる行列の定義でも、厳密に角度の定義が、二次元では可能になってしまう。

ならば、3次元や4次元でも、このような転置派生によって、「角度」が定義できてしまうのか？

法線の組の転置派生とは何か？

まず、2次元の角の行列表示を考えた場合、各ベクトルの並べ方の順序問題が生じる。まず、行列のベクトルは法線で代表させるとしよう。法線n1およびn2については、行列が

$A={\begin{bmatrix}n_{1x}&n_{2x}\\n_{1y}&n_{2y}\end{bmatrix}}$ あるいは、 $B={\begin{bmatrix}n_{2x}&n_{1x}\\n_{2y}&n_{1y}\end{bmatrix}}$ と2通りに書ける。

それぞれ、転置行列は、

${}^{t}A={\begin{bmatrix}n_{1x}&n_{1y}\\n_{2x}&n_{2y}\end{bmatrix}}$ あるいは、 ${}^{t}B={\begin{bmatrix}n_{2x}&n_{2y}\\n_{1x}&n_{1y}\end{bmatrix}}$

それぞれ、転置派生ベクトルは、

${}^{l}a_{1}={\begin{bmatrix}n_{1x}\\n_{2x}\end{bmatrix}}$ および ${}^{l}a_{2}={\begin{bmatrix}n_{1y}\\n_{2y}\end{bmatrix}}$

あるいは、

${}^{l}b_{1}={\begin{bmatrix}n_{2x}\\n_{1x}\end{bmatrix}}$ および ${}^{l}b_{2}={\begin{bmatrix}n_{2y}\\n_{1y}\end{bmatrix}}$ となる。

ここで、転置派生の記法の定義として、ベクトル $v$ に対する転置派生を表す演算子を ${}^{l}v$ と定義した。小文字の l にした理由は、単に形が転置演算の t に似ていることと、書きやすいからである。当初は小文字のcで記法を定義しようと思ったが、手書きで書いてみたら書きづらかったので、 l へ変更した。