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[[b:ja:User:Honooo]]
== 数学について ==
最近は数学について，7つの重要な議論があると思っています…。
#まずは一番大元の基礎論，基本的な論理と数学についての捉え方，考え方の議論。これについては最近だいぶ考えがまとまってきたので，文章を書いてまとめてきたりしていたんだけど，最近はやや滞っている…。多くは論理式や集合の話になるんだけど，例えば論理については3値の論理で考えるのが一番いいように思うとか…，いつかこの辺のこと，うまく書いて公開できればいいと思っています…。
#そして2つ目は公理的集合論。要するに ZFC ですね。これもおいおい勉強していって，理解を深めていきたい。
#3つ目と4つ目は，記号，述語 = に関する議論。 = という述語は，以下の3つの論理式で一意的に定義できるように思う…。
## ∀x P(x,x)
## ∀x1∀x2∀x3 (述(x1,(x2)) ∧ P(x2,x3) holds 述(x1,(x3)))
## ∀x1∀x2∀x3 ((P(x1,x2)∨￢P(x1,x2)) holds (P(x2,x3)∨￢P(x2,x3)))
#:ここで 述 ,(a1) ,holds ,は独自に勝手に使っている記号で，簡単に説明すると，述は述語を対象として使えるようにするための具体的な 2項述語， (a1) は対象を1項リストにする関数で，ここでは 1項述語を作るために使っている。ちなみに，私が妥当だと考える論理体系では，リストは集合ではなく集合以外の別概念としてとらえたい。そして集合とリスト以外の素の，生の対象，というのも考慮して，例えば具体的には，実数やユークリッド空間上の点，文字や現実の主体，その他などですが，対象として3種類の概念を扱うのが良いのではないかと思っています。そして， holds はならば(⇒)に似た論理記号で，似て非なるもの。3値論理でなければ意味を持たない。前者が真なら，必ず後者も真になることを保証している。 Mizar ではこの言葉を使っていたけど，私が使っている意味と同じ意味で使っているかは未確認。
#4つ目として，具体的な述語として = だけの代入を許す論理式で，以下の 4つのトートロジーがある。
## t=u ⇒ f(t)=f(u)
## A(t) ∧ t=u holds A(u)
## ∃x (x=t)
## (A(t) ∧ t=u holds (A(u) ∧ t=u)) ∧ (A(u) ∧ t=u holds (A(t) ∧ t=u))
#:t ， u は項。A(b)，f(b)もほとんど独自解釈で勝手に使っている記号で，空白変数 b を一つ持つ論理式と項，と，呼んでいる…。空白変数というのは，項を項や論理式に代入しやすくするために作った，自由変数，束縛変数の次の3つ目の変数ですね…。
#5つ目と6つ目は，論理式についてなんだけど，例えばこういうトートロジーがあるよね…。
## (∀xA(x) ∧ B) iff ∀x(A(x) ∧ B)
## (∀xA(x) ∨ B) iff ∀x(A(x) ∨ B)
## (∃xA(x) ∧ B) iff ∃x(A(x) ∧ B)
## (∃xA(x) ∨ B) iff ∃x(A(x) ∨ B)
#:B は任意の論理式，iff はこれも独自使用の2項論理記号で，事実上は，同じ，イコールという意味で，Mizar でも使っていたけど，というか，そこから援用したんだけど，やはり私の使い方と同じ意味かは不明。⇔と似ているけど，やはり非なるもの，3値論理上の論理記号として，さらに厳密な意味を持つ。前述の holds で正確に定義出来て，A iff B は，(A ⇔ B)∧(A∨￢A holds (B∨￢B))∧(B∨￢B holds (A∨￢A)) のことです。つまり論理体系として以下の2点は主張したい…。まず真偽値として true(1),false(0),nonsense(-1) の3値を使う。二階述語論理を使うために，述語と関数を対象化するための述語と関数，述(,)と関(,)，そしてそれぞれの対象の有限項数のリストを作るための関数を導入したい。もちろん集合の上位のクラスという概念は知っていますし，それが実在することは認めますが，うまく議論を整理すると，すべての述語と関数を集合として表現できるのでは，と，言う目論見もあります。ただこの辺はいまだ考え中ですが，リストを集合として扱わなければ，うまくいくようにも思える…。でもこういう話って，論理学や集合論を本格的に勉強，研究している人たちから見れば，非情に大雑把で駆け出しの議論であるとは思っています…。
#6つ目としてはこういう話…。以下 6つのトートロジー
##(∃xA(x) ⇒ B) iff ∀x(A(x) ⇒ B)
##(∀xA(x) ⇒ B) iff ∃x(A(x) ⇒ B)
##(B ⇒ ∃xA(x)) iff ∃x(B ⇒ A(x))
##(B ⇒ ∀xA(x)) iff ∀x(B ⇒ A(x))
##(∃xA(x) holds B) iff ∀x(A(x) holds B)
##(B holds ∃xA(x)) iff ∃x(B holds A(x))
##:そして以下 4つの論理式（を作る写像）
##(∀xA(x) holds B)
##∃x(A(x) holds B)
##B holds ∀xA(x)
##∀x(B holds A(x))
#:1. から 10. のそれぞれ違う番号の間で，前者か後者の論理式，または論理式は一般に等しくない。あと書き足りていないと思われることは，論理を考えるとき，論理式の対象は何か，ぞの全体をイメージする事は重要だと思う。これって結局 c=c のことだけど，前述したように，集合，リスト，素の対象の 3種類の対象になるだろう。この全体を集合にすることはできないけど，一方で，すべての対象を一項リストにしてしまえば，集合にできるのでは？という，まあ浅はかかもしれないけどそういうアイディアもある…。でもこれも考え中ですね…，結局上手くいかないかも…。
#最後，七つ目は実数の公理についてですね…。これは手元にある微分積分学の教科書に記述があるんだけど，ある程度は理解したけどまだ十全ではない…。おいおい勉強を深めていこうと思っています。
それ以外にも数学のその他の各論や，物理学，数理的な化学の勉強をしたいと思ってるんだけど，果たして生きてる間にどこまで行くか…。
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