Honooo

時々、何か思いついた時、意味があると思われる文章を書いていくつもりです。

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数学について

最近は数学について，7つの重要な議論があると思っています…。

1. まずは一番大元の基礎論，基本的な論理と数学についての捉え方，考え方の議論。これについては最近だいぶ考えがまとまってきたので，文章を書いてまとめてきたりしていたんだけど，最近はやや滞っている…。多くは論理式や集合の話になるんだけど，例えば論理については3値の論理で考えるのが一番いいように思うとか…，いつかこの辺のこと，うまく書いて公開できればいいと思っています…。
2. そして2つ目は公理的集合論。要するに ZFC ですね。これもおいおい勉強していって，理解を深めていきたい。
3. 3つ目と4つ目は，記号，述語 = に関する議論。 = という述語は，以下の3つの論理式で一意的に定義できるように思う…。
   1. ∀x P(x,x)
   2. ∀x1∀x2∀x3 (述(x1,(x2)) ∧ P(x2,x3) holds 述(x1,(x3)))
   3. ∀x1∀x2∀x3 ((P(x1,x2)∨￢P(x1,x2)) holds (P(x2,x3)∨￢P(x2,x3)))

   ここで 述 ,(a1) ,holds ,は独自に勝手に使っている記号で，簡単に説明すると，述は述語を対象として使えるようにするための具体的な 2項述語， (a1) は対象を1項リストにする関数で，ここでは 1項述語を作るために使っている。ちなみに，私が妥当だと考える論理体系では，リストは集合ではなく集合以外の別概念としてとらえたい。そして集合とリスト以外の素の，生の対象，というのも考慮して，例えば具体的には，実数やユークリッド空間上の点，文字や現実の主体，その他などですが，対象として3種類の概念を扱うのが良いのではないかと思っています。そして， holds はならば(⇒)に似た論理記号で，似て非なるもの。3値論理でなければ意味を持たない。前者が真なら，必ず後者も真になることを保証している。 Mizar ではこの言葉を使っていたけど，私が使っている意味と同じ意味で使っているかは未確認。

4. 4つ目として，具体的な述語として = だけの代入を許す論理式で，以下の 4つのトートロジーがある。
   1. t=u ⇒ f(t)=f(u)
   2. A(t) ∧ t=u holds A(u)
   3. ∃x (x=t)
   4. (A(t) ∧ t=u holds (A(u) ∧ t=u)) ∧ (A(u) ∧ t=u holds (A(t) ∧ t=u))

   t ， u は項。A(b)，f(b)もほとんど独自解釈で勝手に使っている記号で，空白変数 b を一つ持つ論理式と項，と，呼んでいる…。空白変数というのは，項を項や論理式に代入しやすくするために作った，自由変数，束縛変数の次の3つ目の変数ですね…。

5. 5つ目と6つ目は，論理式についてなんだけど，例えばこういうトートロジーがあるよね…。
   1. (∀xA(x) ∧ B) iff ∀x(A(x) ∧ B)
   2. (∀xA(x) ∨ B) iff ∀x(A(x) ∨ B)
   3. (∃xA(x) ∧ B) iff ∃x(A(x) ∧ B)
   4. (∃xA(x) ∨ B) iff ∃x(A(x) ∨ B)

   B は任意の論理式，iff はこれも独自使用の2項論理記号で，事実上は，同じ，イコールという意味で，Mizar でも使っていたけど，というか，そこから援用したんだけど，やはり私の使い方と同じ意味かは不明。⇔と似ているけど，やはり非なるもの，3値論理上の論理記号として，さらに厳密な意味を持つ。前述の holds で正確に定義出来て，A iff B は，(A holds B)∧(B holds A)∧(A∨￢A holds (B∨￢B))∧(B∨￢B holds (A∨￢A)) のことです。つまり論理体系として以下の2点は主張したい…。まず真偽値として true(1),false(0),nonsense(-1) の3値を使う。二階述語論理を使うために，述語と関数を対象化するための述語と関数，述(,)と関(,)，そしてそれぞれの対象の有限項数のリストを作るための関数を導入したい。もちろん集合の上位のクラスという概念は知っていますし，それが実在することは認めますが，うまく議論を整理すると，すべての述語と関数を集合として表現できるのでは，と，言う目論見もあります。ただこの辺はいまだ考え中ですが，リストを集合として扱わなければ，うまくいくようにも思える…。でもこういう話って，論理学や集合論を本格的に勉強，研究している人たちから見れば，非情に大雑把で駆け出しの議論であるとは思っています…。

6. 6つ目としてはこういう話…。以下 6つのトートロジー
   1. (∃xA(x) ⇒ B) iff ∀x(A(x) ⇒ B)
   2. (∀xA(x) ⇒ B) iff ∃x(A(x) ⇒ B)
   3. (B ⇒ ∃xA(x)) iff ∃x(B ⇒ A(x))
   4. (B ⇒ ∀xA(x)) iff ∀x(B ⇒ A(x))
   5. (∃xA(x) holds B) iff ∀x(A(x) holds B)
   6. (B holds ∃xA(x)) iff ∃x(B holds A(x))

      そして以下 4つの論理式（を作る写像）

   7. (∀xA(x) holds B)
   8. ∃x(A(x) holds B)
   9. B holds ∀xA(x)
   10. ∀x(B holds A(x))

   1. から 10. のそれぞれ違う番号の間で，前者か後者の論理式，または論理式は一般に等しくない。あと書き足りていないと思われることは，論理を考えるとき，論理式の対象は何か，ぞの全体をイメージする事は重要だと思う。これって結局 c=c のことだけど，前述したように，集合，リスト，素の対象の 3種類の対象になるだろう。これを全部集めて，全ての概念の集合，なる物を考えていいのかは，よくわかりません。集合のべき集合を作ることで全ての集合の集合の存在を否定する，カントールのパラドックスという話は聞いたことがあるんだけど，全ての集合の集合って，結局ラッセルのパラドックスで言う自分自身を要素として含まない集合全体を含んでいるわけで，集合の部分が必ず集合になることが保証されなければ，カントールの議論も成り立たないんじゃあないの?などと知らないなりにも考えたりします。おそらくZFC をきちんと勉強してその公理に基づいて，健康な集合だけを導出して議論していれば，たいていの数学は十分説明できるんだろうけど，私自身は論理を形式化したいから，全ての概念の集合ってのは存在してほしいんだよね。例えば前述したリストを集合の別概念として扱うと述語って，例えば１項述語の場合，対象と1か0か-1の2項リストをすべての概念，対象について集めた集合だと見なせる。関数もこれに準じた考え方で集合として扱うことができるし，ここでは，述語とは関数の特別な場合になる。だから，こういう集合が存在すれば，述語と関数を対象化出来て何かと物事が考えやすいし，都合がいいんですよ。でもまあ今時点では，たいして知識がないのに，素朴に奔放に空想しているだけにすぎませんね。やはり ZFCはおいおいじっくり勉強したいな…。

7. 最後，七つ目は実数の公理についてですね…。これは手元にある微分積分学の教科書に記述があるんだけど，ある程度は理解したけどまだ十全ではない…。おいおい勉強を深めていこうと思っています。

それ以外にも数学のその他の各論や，物理学，数理的な化学の勉強をしたいと思ってるんだけど，果たして生きてる間にどこまで行くか…。

文字集合について

前項で、集合でもないリストでもない論理対象として素の、生の対象を考えて、その中の例として文字を挙げたんだけど、そもそもすべての文字の集合って何かな? どんなものだろうとある日思ったわけです。

そして結論を言ってしまうとこれって、現在も継続中の歴史上の全ての主体がイメージできる、文字の和集合だろう、つまり時間の進展とともに少しずつ追加される有限集合、と、いうことになりますよね。

で、こういう曖昧な巨大な集合は、個人としては扱いづらいので、私自身が利用する、考える文字集合を、ある程度明確にしたくなってきたんですよ。

そこで人によっては、あんた何やってるの?^^;;;、って感じでしょうが、自分がふつう使う、使いたい文字を数えてみましたよ…。

1. ASCII

   日本人としては少し違うかもしれませんが、コンピューターを使う現代人としては、まずこの文字を最初にしましょうかね…。

   0x20~7E

    !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~

   計 95個

   ここで，半角では兼用する場合が多いですが，別の文字と見なす方が良いものをさらに付け足すと…

   0x22 DOUBLE QUOTATION MARK 「"」のほかに2つ，「“”」(LEFT/RIGHT) DOUBLE QUOTATION MARK

   0x23 NUMBER SIGN 「#」とは違うもの1つ，「♯」シャープ

   0x24 DOLLAR SIGN 「$」について，縦線2本のものがあるけど，これは別字にしたい，1つ，「」\textdollaroldstyle

   0x27 「'」は，直線型のクォーテーションマークとみるから，曲線型のクォートと似て非なるアポストロフィで他に3つ数えます。「‘’」(LEFT/RIGHT) QUOTATION MARK 「’」アポストロフィー

   0x2D ASCII hyphen 「-」はマイナスとは別字と考えた方がいいように思われるので，1つ追加，「−」負符号、減算記号

   0x5B backslash 「\」は日本語のキーボードでは\になることが多いようなのでこれも1つ加えて，「¥」円記号

   0x7C VERTICAL LINE 「|」と似た文字として 1つ，「¦」BROKEN BAR

   0x7E TILDE 「~」は発音区別符号という事ですが，単独で使うチルダは別文字として 1つ「～」freestanding tilde

   結局アスキー文字にその周辺文字を加えて， 95+11=106個の文字を数えます。

2. 仮名

   「ゐ」と「ゑ」も加えて全48文字。小文字は「ぁぃぅぇぉゃゅょっ」で 9文字，カタカナを加えて 2倍で，全 114文字。そして，「゛」「゜」の濁点と半濁点を文字と数えて2つ加えるんですが，これって前項で書いたリストを使って，特定の仮名と組み合わせれば，濁音文字を表現できると考えています。計116文字。

3. 日本語の漢字

   これに関してはちょっと安易なんですが，私が使っている漢和辞典，角川新字源改訂版(2012) には 9920個の漢字が載っている…。これにもう一つ，「〆」という和製漢字だけは使う必要を感じているので計 9921個。

4. ギリシア文字

   大文字と小文字で計 48文字。

5. その他の西洋語の文字

   いつもは，英語以外，他言語について大きく意識したり，使おうと思うことはないのですが，ドイツ語のエスツェット「ẞß」だけは加えておきます。大文字と小文字で2字。

6. 日本語の約物・記号

   －。、「」『』‥…・•※〜—―(倍角ダッシュ)々ゝヽ〻〱〃〽→←↑↓♪

   計27個

7. 西洋約物

   §′″×÷≒≈≠≥≤∴∵∞∷∠∟⊥∥°△□☆▱（←これ、環境によっては平行四辺形が表示されるのですが、少なくとも私のエディタの通常状態ではだめですね…）

   計 23個

8. 表音符

   ASCII の「`~」の2つは表音符ですね。これに加えて「´ˆ¨¸」を足します。結局表音符って、ラテン文字と自然数とを組み合わせて、リストで特定の文字を表現できると思います。

   加えるのは計 4文字。

9. 論理記号の文字

   ∧∨￢∀∃⇒⇔

   計 7個

結果合計が 10254文字。

これは 14bit で数えられますから、まあそんな感じかなーって数ですね。

あと外国語に関するスタンスは前述もしたけど、例えばハングルとか、中国や台湾の漢字はなぜないの？って指摘はできるかもしれませんが、私自身は東アジア諸国に対する偏見や敵意はないと思ってるんですが、何しろあまり人付き合いは多いほうではないし、実際にそれらの文字を積極的に意識することはあまり今時点ではないように思っているわけです。

表示には機種依存文字も入っていますから，場合によってはおかしな表示になっているかもしれません。ちなみにこちらのデバイスは，Windows です。

後、なんでこんなことを数えるのかといえば、単純にすっきりしたいという気持ちもあるんですが、一方で、言語を数理的、論理的に扱って分析したいという気持ちはありますね。ただ本来の言語は話し言葉で音になりますが、それを扱って考えるのは非常に難しいので、次善策として、書き言葉、文章を分析したいというということですね。文章の構成単位は文字になりますし、文字列は要するに文字のリストですよね。前項とも関係するのですが，物事の多くを（おそらく全てではない）統一された論理的視点で探求，考察したいという希望はあります。

個人的便宜のためのリンクと文字列

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人間五十年下天の内を比ぶれば夢幻のごとくなり^^

勧酒（かんしゅ）
于武陵
井伏鱒二

勧君金屈巵
満酌不須辞
花発多風雨
人生足別離

君に勧める　金屈巵（きんくっし）
満酌（まんしゃく）　辞するを須（もち）いず
花発（ひら）けば風雨多く
人生　別離足（おお）し

コノサカズキヲ受ケテクレ
ドウゾナミナミツガシテオクレ
ハナニアラシノタトヘモアルゾ
「サヨナラ」ダケガ人生ダ

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