Topic:小学校算数

Topic:小学校算数へようこそ!
このトピックはSchool:数学の一部です。

ここでは、算数の教科書を見ながら、自由に学習を行ってください。わからないことがあったら、トークページで質問してください。

2年生

なぜ×÷を+-より先に計算するのか

かけざん、わりざんは、たしざん、ひきざんより先に計算するのがふつうです。

1 + 2 × 3は、(1 + 2) × 3 = 9ではなく、1 + (2 × 3) = 7になります。

これは、昔の人がかけざんを先にするルールに決めて、みんながそのルールを使っているからです。

でも、ほんとうはたしざん、ひきざんを先に計算するルールにしてもよいのです。「これからわたしがかく式はたしざんを先に計算するルールにします」とかけば、1 + 2 × 3 = 9と計算しても数学的にはまちがいではありません。

では、なぜ昔の人はかけざんを先に計算するルールに決めたのでしょうか。

じつは、正確な理由はわかっていません。

だれか1人の人がこのルールを決めたわけではないようです。138億年前にビッグバンで宇宙が誕生し、46億年前に地球が誕生し、5200年前に文字が発明されて、計算を式であらわしはじめたときから、何世紀にもわたってかけざんを先に計算するルールができあがっていったようです。

正確な理由はわからないのですが、たくさんの数学者が「こうじゃないかな」と考えている仮説があります。それは次のようなものです。

分配法則

(1 + 2) × 3という式は、1 × 3 + 2 × 3と同じです。

(○ + △) × □なら、○ × □ + △ × □になります。これを分配法則（ぶんぱいほうそく、distributive law）といいます。

分配法則があるから、たしざんを先にしたい式はぜんぶ、かけざんを先にする式にできるから、かけざんを先に計算するルールができたのではないかと考えられています。

ちがういいかたをすると、かけざんを先にすれば、かっこがある式は、かっこがない式にできるということです。かっこがない式にすることを、展開（てんかい、expand）するといいます。

たしざんを先に計算するルールにすると、○ + (△ × □)という式は、かっこがない式で書くことはできません。

正方形は長方形か

いろいろな四角形

長方形（ちょうほうけい、rectangle）とは、4つの角がみんな直角な四角形です。

正方形（せいほうけい、square）とは、4つの角がみんな直角で、4つの辺の長さがみんな同じ四角形です。

「4つの角がみんな直角で、4つの辺の長さがみんな同じ」なら、「4つの角がみんな直角」なので、正方形は長方形のなかまです。

ちなみに、四角形は英語でquadrilateralといいます。quadrangleといういい方もありますが、数学者の間ではあまり使われません。

正三角形は二等辺三角形か

二等辺三角形とは、2つの辺の長さが等しい三角形のことです。

正三角形とは、3つの辺の長さが等しい三角形です。

3つの辺の長さが等しければ、2つの辺の長さも等しいですから、すべての正三角形は二等辺三角形です。

逆に、二等辺三角形のなかには、2つの辺の長さは等しいけれど、1つの辺の長さが違うものもあるので、二等辺三角形は正三角形であるとはかぎりません。

なぜ0で割ってはいけないのか

わりざんでは、6 ÷ 3は2になりますが、3 ÷ 0のように、0でわる計算はできないことになっています。でも、0 ÷ 3は0です。いったいなぜなのでしょうか。

すこし立ちもどって考えてみると、a ÷ bというのは、a個のものをb人でわけると、1人分はいくつになるかをあらわしているのでした。

たとえば、6万円を3人でわけると、1人分は2万円になります。このことを6 ÷ 3 = 2とあらわしています。

0 ÷ 3 = 0というのは、0万円を3人でわけると、1人分は0万円になるということをあらわしていますが、これはほんとうに正しいのでしょうか。

3 ÷ 0というのは、3万円を0人でわけると、1人分はいくつになるかをあらわしています。0万円のような気もしますが、はっきりしません。

ここで、○ ÷ △ = □になるなら、○ = □ × △がなりたつということを思い出してみてください。

たとえば、6 ÷ 3 = 2なら、6 = 2 × 3がなりたちます。

これをつかうと、

0 ÷ 3 = 0

というのは、

0 = 0 × 3

となりますが、これはたしかにあっています。ですから、0 ÷ 3 = 0は正しいのです。

一方で、

3 ÷ 0 = 0

というのは、

3 = 0 × 0

となってしまうので、正しくありません。

じつは、

3 ÷ 0 = △

の△になにをいれても、

3 = △ × 0

となってしまい、0になにをかけても0なので、正しくならないのです。

そのため、3 ÷ 0や、1 ÷ 0のように、ほかの数を0でわる計算はできないのです。

また、0 ÷ 0は、もし

0 ÷ 0 = 0

だとすれば、

0 = 0 × 0

となって正しいように見えますが、じつは

0 ÷ 0 = 1

としても、

0 = 1 × 0

なので正しいことになってしまいます。

0 ÷ 0 = 0も正しくて、0 ÷ 0 = 1も正しいということは、0 = 1ということになってしまうので、やはり0 ÷ 0という計算はできないのです。

5年生

円の面積はなぜ半径×半径×3.14なのか

円の面積の公式は、半径×半径×3.14ですが、それについてもう少し考えてみましょう。と、その前に、「円周」の求め方を知らなくてはいけません。

円と、その中にぴったり収まる正六角形を考えます。

円に内接する正六角形、外接する正方形

このとき、正六角形に対角線を引くことで正三角形6つができます。
ここで、図より円の直径は、正六角形の辺2本分と等しいとわかります。正六角形には辺が6本ありますので、正六角形の周りの長さ=直径×3とわかります。
そして、円の円周は正六角形より長いですので、
円の円周＞直径×3とわかりました。
また、直径と同じ長さの辺を持つ正方形よりは円周は短いですので、
直径×4＞円の円周＞直径×3 がわかりました。

直径1の円の周長はπ

ところで、すべての円で、円周÷直径の値は一定になります。それを円周率と言い, πという記号で表します。π=3.14・・・です。(3.14として計算を進めます) ここで、円周÷直径＝3.14なのですから、式を変形して、円周=直径×3.14となります。これが円周を求める公式です。たしかに、直径×4＞円の円周＞直径×3にあてはまります。

では、面積を求めます。円の面積を求めるために、１つの円を64等分し、

64等分した円

図のように上下交互に並べ替えます。

長方形に並べ替える。

細かくしていくと、だんだん長方形に近くなっていきます。すると、この図の、上の辺＋下の辺＝円周となるので、この長方形の横の長さは円周の半分、つまり直径×3.14÷２となります。直径÷2=半径ですから、この長方形の横の辺は半径×3.14となります。縦の辺は半径ですから、長方形の面積の「縦×横」に代入して、円の面積は半径×半径×3.14となります。