C^Zについて
複素数の複素数乗に関して、今後少しずつまとめていきます。詳しい方々が編集を足してくださるのも歓迎します。
C^Z
編集C=a+b*i
Z=x+y*i
C,Z∈ℂ
a,b,x,y∈ℝ
C^Z?
編集C=e^ln(K)*(cosθ+i*sinθ)
K>0
0<=θ<2*π
C^Z=e^(Z*ln(C))=e^(x*ln(K)-y*θ+(x*θ+y*ln(K))*i)=e^(x*ln(K)-y*θ)*(cos(x*θ+y*ln(K))+i*sin(x*θ+y*ln(K)))
K,θ
編集K=Sqrt[a^2+b^2]
cosθ=a/Sqrt[a^2+b^2]
sinθ=b/Sqrt[a^2+b^2]
C=0?
編集一般的には、
Z>0
の時しか定義できない。その時…
0^Z=0
これを二変数関数として、複素数偏微分したい
編集∂(C^Z)/∂C
まずこれですが，公式通り考えてみると…
∂(C^Z)/∂C=Z*C^(Z-1)……(1)
ですが，しかしこれがどこまで妥当か…。複素数微分の定義もありますし，複素数微分が出来る関数の定理もあります。
まず一般的に，微分関数の定義域は，元の関数の定義域と等しいのが妥当だと考えます。 ￢C=0の時はすべての複素数 Zで累乗が定義されている。 C=0の時は Z>0の時のみ定義される。
そこでこの微分公式が一般的に正しいかどうかは確認しないまま，問題になるのは，
0<Z<=1
の時だということが出来るでしょう。
そこでまず，Z=1の場合は…
C^Z=C
dC/dC=1
C=0 の時もそうだから，
Z=1の時，
∂(C^Z)/∂C=1
と，なりますね。
つまり (1)の式に
ただし C=0∧Z=1の時は ∂(C^Z)/∂C=1……(2)
と書けば事足ります。
しかし 0<Z<1 の時は…
-1<Z-1<0 で…
例えば Z-1=-1/2とすると，
1/(2*Sqrt[C]) は， C→0の時発散して， C=0 の値はないでしょう。
ですから結局 ∂(C^Z)/∂Cは，(1) と(2) の式で示せますが，これは公式から何となく議論しただけで，正確な数学上の分析ではありません。
∂(C^Z)/∂Z の場合公式によると，
∂(C^Z)/∂Z=C^Z*ln(C)
そして C=0∧Z>0 の時∂(C^Z)/∂Z=0 ,になりますかね…。
不定積分
編集複素数不定積分というものはあるのか，ある条件ではあると思うけど…
公式によると，
Integrate[C^Z,C]=C^(Z+1)/(Z+1)+T
Z=-1の時，Integrate[C^-1,C]=ln(C)+T
そしてまた，公式によると…
Integrate[C^Z,Z]=C^Z/ln(C)+T
C=0 の時 Integrate[0^Z,Z]=T（但し Z>0）