2次方程式の解の公式の証明

証明

２次方程式($ax^{2}+bx+c=0$) においての解の公式は、 $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

特に、$b=2b'$($ax^{2}+2b'x+c=0$) においての解の公式は、 $x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac}}}{a}}$

特に、$a=1$($x^{2}+bx+c=0$) においての解の公式は、 $x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}$

となることを証明する。

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx&=-c\end{aligned}}$

両辺に $4a$ をかけると、 $4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$ 両辺に $b^{2}$ を加えると、 $4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac$ したがって、 ${\begin{aligned}4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$ となり、2次関数の解の公式が導かれる。

また、解の公式において、$b=2b'$ とすると、 ${\begin{aligned}x&={\frac {-2b'\pm {\sqrt {(2b')^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-2b'\pm {\sqrt {4b'^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-2b'\pm 2{\sqrt {b'^{2}-ac}}}{2a}}\\&={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac}}}{a}}\end{aligned}}$

また、解の公式において、$a=1$ とすると、 ${\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}\\&=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4c}{4}}}\\&=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-{\frac {4c}{4}}}}\\&=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}\end{aligned}}$