「Topic:微分積分学/研究」の版間の差分
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加筆。 |
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（・・・という事らしい。昔、自分が書いた自主レポート（未発表）を元にしてるので、詳しいアイデアは忘れた。）
== テイラー展開を元に、組み合わせ公式 ==
たとえば4個のものの中から、2個を選ぶ組み合わせの場合を
:C（４、２）
とかくことにする。
この記法で組み合わせ公式を用いるとき、
:C（ｊ－1、ｉ－1）・（ａ＋ｂ）＾（ｊ－ｉ）
:＝Σ（ｉ≦ｋ≦ｊ）｛C（ｋ－１、ｉ－１）ａ＾（ｋ－ｉ）｝｛C（ｊ－１、ｋ－１）ｂ＾（ｊ－ｋ）｝
が成り立ちそうである。
*説明
まず、テイラー展開の普通の関数を考える。
たとえば、
:Ｙ＝Ｃ0＋Ｃ1・ｘ＋Ｃ2・ｘ＾２
をベクトル （C0．Ｃ1，Ｃ2）であらわす。
つまり、べき級数の係数をベクトルの成分にする。
このときYにたいする微分Dや差分⊿、代入、シフトEが、行列で表せる。
シフトEとは、
:E・Y（ｘ） ＝Y（ｘ＋１）
のことである。
差分⊿は
:⊿Y（ｘ）＝Y(ｘ＋１)－Y(ｘ)＝EY（ｘ）－Y（ｘ）＝（E－1）・Y(ｘ)
である。
さて、シフト E の行列 M（ｉ，j） は、
:M（ｉ，j）＝Ｃ（ｊ－１、ｉ－１） ・・・（ｉ≦ｊ のとき）
その他
:Ｍ（ｉ，j）＝０ ・・・（その他のとき）
となる。
これは、パスカルの3角形と同じ配置である。
: Ｇ（Ａ）[Ｙ（ｘ）]＝Ｙ（ｘ＋Ａ）
という演算子Ｇ（Ａ）を考えると、このＧ（Ａ）をあらわす行列 Ｍ（ｉ、ｊ） は、
:M（ｉ，j）＝Ｃ（ｊ－１、ｉ－１）・Ａ＾（ｊ－ｉ）・・（ｉ≦ｊ のとき）
その他
:Ｍ（ｉ，j）＝０ ・・・（その他のとき）
となる。
:Ａ＝１のときは、Ｇ（１）はシフトＥと、同一になる。
さて、Ｇ（Ａ＋Ｂ）・Ｙ（ｘ） ＝ Ｇ（Ａ）・G(B)・Y(ｘ)
なので、この関係を、行列で表したのが、冒頭に掲げた組み合わせの公式である。
== テイラー展開からテンソルに ==
（既存研究が、あるかも？）
*テンソル積
関数の係数をベクトルと考えると、
:ｆ(ｘ) ＝ Ａ0 ＋ A1･ｘ ＋ A2･ｘ^2 ＋ A3･ｘ^3 ＋ ・・・
:ｇ(ｙ) ＝ Ｂ0 ＋ Ｂ1･ｙ ＋ Ｂ2･ｙ^2 ＋ Ｂ3･ｙ^3 ＋ ・・・
の積は、
:ｆ(ｘ)･ｇ(ｙ) ＝ Ａ0･Ｂ0 ＋ Ａ0・Ｂ1･ｘ ＋ Ａ0・Ｂ2･ｙ^2 ＋ ・・・
: ＋Ａ1･Ｂ0・ｘ ＋ Ａ1・Ｂ1・ｘ･ｙ ＋Ａ1･Ｂ2･ｘ･ｙ^2 ＋ ・・・
: ＋Ａ2･Ｂ0･ｘ^2 ＋ Ａ2･Ｂ1・ｘ^2･ｙ ＋ ・・・
・・・・・
のようになる。
ここで、たとえば一変数関数ｆ(ｘ)の係数をベクトルの成分と見たように、2変数関数ｆ(ｘ)･ｇ(ｙ)の係数を行列の成分と見る。この場合、行列の一番左上は０行０列目と見る。
たとえば
:Ａ1･Ｂ2･ｘ･ｙ^2 は1行2列目に対応し、ｘ･ｙ^2 を基底とする成分Ａ1･Ｂ2とする。
これはベクトル
:ａ ＝ （Ａ0、Ａ1、Ａ2、Ａ3、・・・）
:ｂ ＝ （Ｂ0，B1、B2、B3、・・・）
を使って、行列の転地ｔを用いて、
:（tａ）・ｂ の形にかける。
これは、テンソル代数でいうところのベクトルａ，ｂのテンソル積ａ〇ｂの計算と同じである。
:ｆ(ｘ)･ｇ(ｙ)・ｈ（ｚ）のような３変数以上の場合も、係数の積によって、定義する。
テンソルＴ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の第(Ｉ，ｊ，Ｋ)成分には、ｘ＾Ｉ・ｙ＾Ｊ・ｚ＾Ｋの係数Ai・Bj・Ck を使う。
:つまり、３つのベクトル ａ，ｂ，c のテンソル積 T = ａ〇ｂ〇c は
:Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）＝Ai・Bj・Ck である。
*まとめ
テンソルのもともとの由来は材料力学の計算からだが、とりあえず、それは無視して以上のようにテンソル積の計算を考えたほうが手っ取り早い。テーラー級数の積によるテンソル積の定義では、無限次元のベクトルや行列、テンソルを自然に導入できる。
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