「Topic:極限」の版間の差分

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代数学的な考え方では、我々は単純に、<math>(x-2)</math>の項を削除でき、関数<math>f(x)=x^2</math>が残ると言うでしょう。しかしながら、ここには多少の誤差が生じます。今我々が考えている関数ははじめに考えていたものと完全に同じものではないのです。なぜなら、この関数はx=2に定まっているけれど、我々がもともと考えていた関数は、具体的にはx=2には定まらないからです。代数学では、我々はこの種の関数に対するより良い解決の方法がないため、このことは無視してもかまいません。ただ、今の計算法は、我々がこの種の関数をよりよく、より正しく見るための方法です。我々が必要とすることは、たとえ<math>x=2</math>において関数が存在しなかったとしても、それがほぼ存在しているかのようにみせかけて、それが4であるということを求められることなのです。それはそこには無いものかもしれない、けれどもそれは本当に本当に近くに存在している。我々が抱く唯一の疑問は、「近くにあるってどういうことだろう?」というものなのですね。
 
==厳密ではない極限の定義==
==Informal definition of a limit==
 
極限の厳密な定義は少し難しいため、あまり厳密ではない定義から始めて、その後に厳密な定義をしましょう。
As the precise definition of a limit is a bit technical, it is easier to start with an informal definition, and we'll explain the formal definition later.
 
関数''f''は''c''の近い値''x''において、定義されているとします。ただし、''x''=''c''で定義されている必要はありません。
We suppose that a function ''f'' is defined for ''x'' near ''c'' (but we do not require that it be defined when ''x''=''c'').
 
 
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'''簡単な極限の定義'''<br>
'''Definition: (Informal definition of a limit)'''<br>
''L''を''''x''が''c''に限りなく近づくときの''f''(''x'')の極限''といいます。
We call ''L'' the '''limit of ''f''(''x'') as ''x'' approaches ''c''''' , i.e. ''f''(''x'') becomes close to ''L'' when ''x'' is close (but not equal) to ''c''.
 
このとき、次のように書き表します
When this holds we write
:<math> \lim_{x \to c} f(x) = L </math>
または
or
:<math> f(x) \to L \quad \mbox{as} \quad x \to c.</math>
|}
 
極限の定義は''x''=''c''のときに''f''(''x'')がとる値ではなく、''x''が''c''に限りなく近づいたときに''f''(''x'')がグラフ上で左側または右側から近づく値であることに注意してください。
Notice that the definition of a limit is not concerned with the value of ''f''(''x'') when ''x''=''c'' (which may exist or may not). All we care about is the values of ''f''(''x'') when ''x'' is close to ''c'', on either the left or the right (i.e. less or greater).
 
==極限の法則==