「Topic:数と式」の版間の差分

自然数はりんごの数を数えたり、りんごの数を計算したりするのに使うことができます。自然数はまさに自然に存在し、人間が自然にイメージできる数といえます。

このような自然数どうしの足し算は、自然数の中に答えを見つけることができます。しかし、

このような自然数どうしの引き算の答えは、自然数 1, 2, 3, 4, 5, ... の中にはありません。

そこで、何もないことをあらわす 0 という数と、0 より小さいことをあらわす -1, -2, -3, -4, -5, ... のような負の数を自然数につけくわえることによって、これらの引き算の答えを考えることができます。

これを'''整数'''（せいすう、integers）といいます。整数は'''正の整数'''（せいのせいすう、positive integers）1, 2, 3, 4, 5, ... と、0 と、'''負の整数'''（ふのせいすう、negative integers）-1, -2, -3, -4, -5, ... と、0からなっています。自然数とは、正の整数 1, 2, 3, 4, 5, ... のことです。

0.5 や 0.25 のような小数は、<math>\frac{1}{2}</math> や <math>\frac{1}{4}</math> のような分数を使って表すことができます。

さらに、0.3333333333... のような無限に続く小数も、<math>\frac{1}{3}</math> という分数を使って表すことができます。このことから、小数の中には分数で表せるものが存在することがわかります。

:厳密には <math>3.333\ldots - 0.333\ldots = 3</math> のように循環節が「打ち消しあう」というところ部分が曖昧ですが、数学IIIで学習する[[Topic:極限|極限]]では、[[Topic:極限#無限等比級数の和|無限等比級数の和]]を用いてこの考え方が正しいことを示します。

:言い換えれば、まったく同じ数を表すのに 1 と 0.999... という2通りの表し方があるということです。限りなく 1 に近づいていく無限小数 0.999... が 1 と等しくないとすると、0.999... と 1 の間は途切れているということになってしまい、なめらかにつながった数直線で数を表すことができなくなってしまいます。詳しくは数学IIIの教科書を参照してください。

乗算表の一番左上から一番左下にかけての対角線（主対角線）上には、同じ整数を2回掛けてできる数
*<math>1^2 = 1 \times 1 = 1</math>,
*<math>2^2 = 2 \times 2 = 4</math>,
*<math>3^2 = 3 \times 3 = 9</math>,
*<math>4^2 = 4 \times 4 = 16</math>,
*<math>5^2 = 5 \times 5 = 25</math>,
*...
が現れていることがわかります。このような整数 ''n'' を2乗した数 <math>n^2</math>を総称して、'''平方数'''（へいほうすう、square numbers）といいます。平方数は整数 ''n'' の自分自身との積 <math>n \times n</math> です。

<math>0^2 = 0</math> なので、0 も平方数の一つです。負の整数 <math>-n</math> の2乗 <math>(-n)^2</math> は正の整数 ''n'' の2乗 <math>n^2</math> に等しいので、たとえば2乗して 4 になる数というのは、<math>2^2 = (-2)^2 = 4</math> より 、2 と -2 の 2 つあることがわかります。

したがって、''x'' は 2 の正の平方根 <math>\sqrt{2}</math> です。<math>\sqrt{2}</math> は 2 乗すると 2 になる正の数を表しています。

それでは、<math>\sqrt{2}</math> は実際にどのくらいの大きさの数なのでしょうか。2乗して2になる数を考えると、
*<math>1^2 = 1</math>,
*<math>2^2 = 4</math>
なので、<math>x^2 = 2</math> の解は1より大きく、2より小さい小数になると考えられます。

さらに
*<math>1.4^2 = 1.96</math>,
*<math>1.5^2 = 2.25</math>
なので、

分子・分母ともに整数の分数で表すことができない数を、'''無理数'''（むりすう、irrational numbers）といいます。無理数は循環しない無限小数と同じです。<math>\sqrt{2}</math> や <math>\pi \approx 3.141592653589793\ldots</math> は循環しない無限小数であり、分子・分母が整数の分数で表すことができないので、無理数です（詳しくは [[#√2が無理数であることの証明|<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることの証明]]を参照）。

:''a'' を実数とすると、<math>(-a)^2 = a^2</math> が常に成り立つので、実数は2乗すると必ず正の数になります。つまり、<math>\sqrt{a}</math> は <math>a > 0</math> のときだけ意味をもちます。正の数の平方根は必ず実数になりますが、負の数の平方根は実数の範囲には存在しません。負の数の平方根は'''虚数'''（きょすう、imaginary numbers）といい、数学IIでは虚数と実数を合わせた'''複素数'''（ふくそすう、complex numbers）という数の体系を考えます。

ある数が無理数であるかどうかの性質を'''無理性'''（むりせい、irrationality）といいます。<math>\sqrt{2}</math> の無理性の証明はいくつか知られていますが、ここでは背理法による証明を試みます。そのためにまず、次の命補題を対偶による証明を用いて証明します。

{{定理|type=命補題|

{{証明|title=命補題|

命補題の対偶をとると、

自然数 ''n'' に対して、漸化式

により累乗 <math>a^n = a^{n - 1} \times a</math> を定義する（ただし ''n'' は 1 以上の整数）。