ウィキバーシティ

「Topic:数と式」の版間の差分

履歴の双方向閲覧
← 古い編集新しい編集 →
削除された内容 追加された内容
ビジュアルウィキテキスト
編集の要約なし
w:en:Multiplication table 2010-09-27T12:59:52 より乗算表をコピー
114行目:
 
;注意
:厳密には <math>3.333\ldots - 0.333\ldots = 3</math> のように循環節が打ち消しあうというとことろが正しいのかどうか示されていません曖昧ですが、この計算の妥当性は数学IIIで学習する[[Topic:極限|極限]]の概念を用いてでは、[[Topic:極限#無限等比級数の和|無限等比級数の和]]を用いてこの考える方が正しいことによって証明されを示します。
 
;問題
143行目:
 
;解説
:0.999... は 1 に等しいです。厳密な証明は数学IIIで行ういますが、0.999... は限りなく 1 に近づいていく無限小数であり、そのような無限小数は 1 に等しいと定義しまする。
::<math>0.\dot{9} = 0.999\ldots = 1</math>
:言い換えれば、まったく同じ数を表すのに 1 と 0.999... という2通りの表し方があるということです。限りなく 1 に近づいていく無限小数 0.999... が 1 と等しくないとすると、0.999... と 1 の間は途切れているということになってしまい、なめらかにつながった数直線で数を表すことができなくなってしまういます。
 
ところで、これまで出てきた小数は、すべて有限小数か循環小数のどちらかでしたが、無限小数のうち小数点以下に同じ数字が繰り返されることのない、循環しない無限小数というのは存在しないのでしょうか。
 
====平方根====
以下の表は、掛け算九九の表を 9 × 9 から 20 × 20 に拡張したものです。このような表を、'''乗算表'''（じょうざんひょう、multiplication table）といいます。
<math>1^2 = 1 \times 1 = 1</math>, <math>2^2 = 2 \times 2 = 4</math>, <math>3^2 = 3 \times 3 = 9</math>, <math>4^2 = 4 \times 4 = 16</math>, <math>5^2 = 5 \times 5 = 25</math>, ... のように、同じ整数を2回掛けてできる数を総称して'''平方数'''（へいほうすう、square numbers）といいます。平方数は整数 ''n'' を2乗した数 <math>n^2</math> であり、整数 ''n'' の自分自身との積 <math>n \times n</math> です。▼
 
{| class="wikitable" style="text-align: right;"
|+ 20 × 20 の乗算表
|-
! ×
! ''n''1 !! 0 !! 1 !!|| 2 !! || 3 !! || 4 !! || 5 !! || 6 !! || 7 !! || 8 !! || 9 !! || 10 !! || 11 !! || 12 !!|| 13 !!|| 14 !!|| 15 !!|| 16 !!|| 17 !!|| 18 !!|| 19 !!|| 20 ▼
|-
! 1
| '''1''' || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20
|-
! 2
| 2 || '''4''' ||6 || 8 || 10 || 12 || 14 || 16 || 18 || 20 || 22 || 24 || 26 || 28 || 30 || 32 || 34 || 36 || 38 || 40
|-
! 3
| 3 || 6 || '''9''' || 12 || 15 || 18 || 21 || 24 || 27 || 30 || 33 || 36 || 39 || 42 || 45 || 48 || 51 || 54 || 57 || 60
|-
! 4
| 4 || 8 || 12 || '''16''' || 20 || 24 || 28 || 32 || 36 || 40 || 44 || 48 || 52 || 56 || 60 || 64 || 68 || 72 || 76 || 80
|-
! 5
| 5 || 10 || 15 || 20 || '''25''' || 30 || 35 || 40 || 45 || 50 || 55 || 60 || 65 || 70 || 75 || 80 || 85 || 90 || 95 || 100
|-
! 6
| 6 || 12 || 18 || 24 || 30 || '''36''' || 42 || 48 || 54 || 60 || 66 || 72 || 78 || 84 || 90 || 96 || 102 || 108 || 114 || 120
|-
! 7
| 7 || 14 || 21 || 28 || 35 || 42 || '''49''' || 56 || 63 || 70 || 77 || 84 || 91 || 98 || 105 || 112 || 119 || 126 || 133 || 140
|-
! 8
| 8 || 16 || 24 || 32 || 40 || 48 || 56 || '''64''' || 72 || 80 || 88 || 96 || 104 || 112 || 120 || 128 || 136 || 144 || 152 || 160
|-
! 9
| 9 || 18 || 27 || 36 || 45 || 54 || 63 || 72 || '''81''' || 90 || 99 || 108 || 117 || 126 || 135 || 144 || 153 || 162 || 171 || 180
|-
! 10
| 10 || 20 || 30 || 40 || 50 || 60 || 70 || 80 || 90 || '''100''' || 110 || 120 || 130 || 140 || 150 || 160 || 170 || 180 || 190 || 200
|-
! 11
| 11 || 22 || 33 || 44 || 55 || 66 || 77 || 88 || 99 || 110 || '''121''' || 132 || 143 || 154 || 165 || 176 || 187 || 198 || 209 || 220
|-
! 12
| 12 || 24 || 36 || 48 || 60 || 72 || 84 || 96 || 108 || 120 || 132 || '''144''' || 156 || 168 || 180 || 192 || 204 || 216 || 228 || 240
|-
! 13
| 13 || 26 || 39 || 52 || 65 || 78 || 91 || 104 || 117 || 130 || 143 || 156 || '''169''' || 182 || 195 || 208 || 221 || 234 || 247 || 260
|-
! 14
| 14 || 28 || 42 || 56 || 70 || 84 || 98 || 112 || 126 || 140 || 154 || 168 || 182 || '''196''' || 210 || 224 || 238 || 252 || 266 || 280
|-
! 15
| 15 || 30 || 45 || 60 || 75 || 90 || 105 ||120 || 135 || 150 || 165 || 180 || 195 || 210 || '''225''' || 240 || 255 || 270 || 285 || 300
|-
! 16
| 16 || 32 || 48 || 64 || 80 || 96 || 112 || 128 || 144 || 160 || 176 || 192 || 208 || 224 || 240 || '''256''' || 272 || 288 || 304 || 320
|-
! 17
| 17 || 34 || 51 || 68 || 85 || 102 || 119 || 136 || 153 || 170 || 187 || 204 || 221 || 238 || 255 || 272 || '''289''' || 306 || 323 || 340
|-
! 18
| 18 || 36 || 54 || 72 || 90 || 108 || 126 || 144 || 162 || 180 || 198 || 216 || 234 || 252 || 270 || 288 || 306 || '''324''' || 342 || 360
|-
! 19
| 19 || 38 || 57 || 76 || 95 || 114 || 133 || 152 || 171 || 190 || 209 || 228 || 247 || 266 || 285 || 304 || 323 || 342 || '''361''' || 380
|-
! 20
| 20 || 40 || 60 || 80 || 100 || 120 || 140 || 160 || 180 || 200 || 220 || 240 || 260 || 280 || 300 || 320 || 340 || 360 || 380 || '''400'''
|}
 
▲乗算表の一番左上から一番左下にかけての対角線（主対角線）上には、同じ整数を2回掛けてできる数 <math>1^2 = 1 \times 1 = 1</math>, <math>2^2 = 2 \times 2 = 4</math>, <math>3^2 = 3 \times 3 = 9</math>, <math>4^2 = 4 \times 4 = 16</math>, <math>5^2 = 5 \times 5 = 25</math>, ... が現れていることがわかります。このように、同じな整数 ''n'' を2回掛けてできる乗した数 <math>n^2</math>を総称して、'''平方数'''（へいほうすう、square numbers）といいます。平方数は整数 ''n'' を2乗した数 <math>n^2</math> であり、整数 ''n'' の自分自身との積 <math>n \times n</math> です。
 
;補足
:2乗のことを'''平方'''（へいほう、square）ともいうので、整数 ''n'' を2乗した数 <math>n^2</math> のことを'''平方数'''（へいほうすう、square numbers）といいます。
 
20 × 20 の乗算表から得られる <math>20^2 = 400</math> 以下の平方数は次のとおりです。
 
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ 400以下の平方数
! ''n''
▲! ''n'' !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 18 !! 19 !! 20
! 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20
|-
! <math>n^2</math>
「https://ja.wikiversity.org/wiki/Topic:数と式」から取得