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==式==
===式の展開と因数分解===
====指数法則====
累乗 <math>a^2</math>, <math>a^3</math> を掛け合わせた積 <math>a^2 \times a^3</math> を考えると、
:<math>\begin{align}
a^2 \times a^3 &= (a \times a) \times (a \times a \times a) \\
&= a \times a \times a \times a \times a \\
&= a^5 \\
&= a^{2 + 3}
\end{align}</math>
なので、一般に累乗の積 <math>a^m \times a^n</math> は指数の和 <math>a^{m + n}</math> になると予想できます。
{{定理|title=指数法則|
任意の自然数 ''m'', ''n'' について、
*<math>a^m a^n = a^{m + n}</math>
*<math>(a^m)^n = a^{mn}</math>
*<math>(ab)^n = a^n b^n</math>
が成り立つ。
}}
{{証明|title=指数法則|
累乗の定義
:<math>a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n</math>
より、
:<math>a^m \times a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_m \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n</math>
掛け合わされている ''a'' の個数を数えると、全部で ''m'' + ''n'' 個になるので、
:<math>\begin{align}
a^m \times a^n &= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_m \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n \\
&= \overbrace{ \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_m \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n }^{m + n} \\
&= \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a }_{m + n} \\
&= a^{m + n}
\end{align}</math>
したがって、任意の自然数 ''m'', ''n'' について、
:<math>a^m \times a^n = a^{m + n}</math>
が成り立つ。∎
:<math>(a^m)^n = \underbrace{a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}_n</math>
指数法則 <math>a^m \times a^n = a^{m + n}</math> より、<math>a^m \times a^m = a^{m + m}</math> であるから、
:<math>\begin{align}
(a^m)^n &= \underbrace{a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}_n \\
&= a^{ \overbrace{m + m + \cdots + m}^n }
\end{align}</math>
乗法の定義
:<math>\underbrace{a + a + \cdots + a}_n = a \times n</math>
より、
:<math>\begin{align}
(a^m)^n &= a^{ \overbrace{m + m + \cdots + m}^n } \\
&= a^{m \times n}
\end{align}</math>
したがって、任意の自然数 ''m'', ''n'' について、
:<math>(a^m)^n = a^{m \times n}</math>
が成り立つ。∎
:<math>\begin{align}
(ab)^n &= \underbrace{ab \times ab \times \cdots \times ab \times ab}_n \\
&= \underbrace{a \times b \times a \times b \times \cdots \times a \times b \times a \times b}_n
\end{align}</math>
交換法則 <math>a \times b = b \times a</math> により掛ける順番を入れ替えると、
:<math>\begin{align}
(ab)^n &= \underbrace{a \times b \times a \times b \times \cdots \times a \times b \times a \times b}_n \\
&= \underbrace{a \times a \times a \times a \times \cdots \times b \times b \times b \times b}_n
\end{align}</math>
<math>(ab)^n</math> より、''ab'' は ''n'' 個掛け合わされており、''a'', ''b'' はそれぞれ ''n'' 個掛け合わされているから、
:<math>\begin{align}
(ab)^n &= \underbrace{a \times a \times a \times a \times \cdots \times b \times b \times b \times b}_n \\
&= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_n \\
&= a^n b^n
\end{align}</math>
したがって、任意の自然数 ''m'', ''n'' について、
:<math>(ab)^n = a^n b^n</math>
が成り立つ。∎
}}
;注意
:指数法則は累乗の定義より明らかなので、累乗の定義を用いた指数法則の証明は直感的ですが、この証明は「…」の部分が何を指しているのかが曖昧なため、数学的には必ずしも正しいとはみなされません。数学Bの[[Topic:数列|数列]]の項で学習する'''数学的帰納法'''（すうがくてききのうほう、mathematical induction）と呼ばれる証明法を用いると、より厳密な証明を行うことができます。
{{定義|title=累乗|
漸化式
:<math>a^1 = a</math>,
:<math>a^{n + 1} = a^n \times a \ (n \ge 1)</math>
により累乗 <math>a^n = a^{n - 1} \times a</math> を定義する（ただし ''n'' は 1 以上の整数）。
}}
{{証明|title=指数法則|
数学的帰納法による。
:<math>a^m a^n = a^{m + n}</math>
<math>n = 1</math> のとき、累乗の定義より、
:<math>\begin{align}
a^m a^1 &= a^m a \\
&= a^{m + 1}
\end{align}</math>
は明らかに真である。
<math>n = k</math> のとき、
:<math>a^m a^k = a^{m + k}</math>
が真であると仮定すると、<math>n = k + 1</math> のとき、<math>a^{m + 1} = a^m a</math> より、
:<math>\begin{align}
a^m a^{k + 1} &= a^m a^k a \\
&= a^{m + k} a \\
&= a^{m + k + 1}
\end{align}</math>
は真である。したがって、任意の自然数 ''m'', ''n'' について、
:<math>a^m a^n = a^{m + n}</math>
は真である。∎
:<math>(a^m)^n = a^{mn}</math>
<math>n = 1</math> のとき、
:<math>\begin{align}
(a^m)^1 &= a^m \\
&= a^{m \times 1}
\end{align}</math>
は明らかに真である。
<math>n = k</math> のとき、
:<math>(a^m)^k = a^{mk}</math>
が真であると仮定すると、<math>n = k + 1</math> のとき、<math>a^{m + 1} = a^m a</math> より、
:<math>\begin{align}
(a^m)^{k + 1} &= (a^m)^k (a^m)^1 \\
&= a^{mk} a^m
\end{align}</math>
指数法則 <math>a^m a^n = a^{m + n}</math> より、
:<math>\begin{align}
(a^m)^{k + 1} &= a^{mk} a^m \\
&= a^{mk + m} \\
&= a^{m(k + 1)}
\end{align}</math>
は真である。したがって、任意の自然数 ''m'', ''n'' について、
:<math>(a^m)^n = a^{mn}</math>
は真である。∎
:<math>(ab)^n = a^n b^n</math>
<math>n = 1</math> のとき、
:<math>\begin{align}
(ab)^1 &= ab \\
&= a^1 b^1
\end{align}</math>
は明らかに真である。
<math>n = k</math> のとき、
:<math>(ab)^k = a^k b^k</math>
が真であると仮定すると、<math>n = k + 1</math> のとき、<math>a^{m + 1} = a^m a</math> より、
:<math>\begin{align}
(ab)^{k + 1} &= (ab)^k (ab)^1 \\
&= a^k b^k a^1 b^1 \\
&= a^k a^1 b^k b^1 \\
&= a^{k + 1} b^{k + 1}
\end{align}</math>
は真である。したがって、任意の自然数 ''m'', ''n'' について、
:<math>(ab)^n = a^n b^n</math>
は真である。∎
}}
===一次不等式===
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