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;補足
:このことを有理数の全体や実数の全体は、加法・減法・乗法・除法（加減乗除）の四則計算に関して'''閉じている'''といいます。有理数の全体や実数の全体のように、四則計算を自由に行うことのできる数の集まりを'''体'''（たい、field）といいます。有理数の全体や実数の全体は体ですが、自然数の全体や整数の全体は体ではありません。
====数直線と絶対値====
実数全体はなめらかに切れ目なくどこまでもつながっているので、同じような性質をもつ直線を使って表現することができます。これを'''数直線'''（すうちょくせん、number line）といいます。一つの実数は直線上の一つの点に対応します。
[[Image:Real number line for Algebra book.svg]]
数直線では、実数の 0 に対応する点を基準として、その点から左右に任意の間隔でめもりをつけて数の範囲を表します。この基準となる点を'''原点'''（げんてん、origin）といい、記号 ''O'' で表します。任意の実数は、原点からどれだけ離れているかを考えて数直線上に点をとることができます。
たとえば、実数 1 は原点 ''O'' から右に 1 だけ離れた点 ''P''(1) に対応させることができます。
また、-1 という実数は、原点 ''O'' から左に 1 だけ離れた点 ''P''(-1) に対応させることができます。
点 ''P''(1), ''P''(-1) はどちらも原点 ''O'' からの距離は 1 で等しいですが、原点 ''O'' から見て互いに逆方向の位置にあります。
数直線上で、ある実数 ''x'' を点 ''P''(''x'') に対応させたとき、点 ''P''(''x'') と原点 ''O'' との距離を ''x'' の'''絶対値'''（ぜったいち、absolute value）といい、記号 <math>|x|</math> で表します。
{{定義|title=絶対値|
実数 ''x'' に対応する数直線上の点 ''P''(''x'') と原点 ''O'' との距離を、''x'' の絶対値といい、<math>|x|</math> と書く。
}}
絶対値 <math>|x|</math> はある実数 ''x'' が、数直線上で原点 ''O'' からどれだけ離れているかの距離を与えるものといえます。たとえば 1 の絶対値は 1 であり、-1 の絶対値は 1 です。ただし、0 の絶対値は <math>|0| = 0</math> であると定義します。
絶対値はある実数 ''x'' に対応する点 ''P''(''x'') が、原点から見て左にあるか、右にあるかという方向は考えずに、ただ原点からどれだけ離れているかという情報のみを取り出したものといえます。
これは実数 ''x'' が正の数（プラス）なのか、負の数（マイナス）なのかは考えずに、実数の大きさのみを取り出したものともいえるので、次のように定義することもできます。
{{定義|title=絶対値|
実数 ''x'' の絶対値 <math>|x|</math> を次のように定義する。
:<math>|x| = \begin{cases}
x, & \text{ if } x \ge 0 \\
-x, & \text{ if } x < 0
\end{cases}</math>
}}
つまり <math>|3| = 3</math>, <math>|-3| = 3</math> のように、実数 ''x'' から符号を取り除いたものが ''x'' の絶対値 <math>|x|</math> であるといえます。言い換えれば、<math>|x|</math> は <math>x < 0</math> のとき <math>|x| = -x</math> になります。たとえば <math>|1 - 2| = |-1| = -(-1) = 1</math> であり、一般に <math>a - b < 0</math> のとき、<math>|a - b| = -(a - b) = -a - (-b) = -a + b = b - a</math> です。したがって、絶対値には次のような性質があります。
{{定理|title=絶対値の非負性|
任意の実数 ''a'' について、
:<math>|a| \ge 0</math>
が成り立つ。
}}
{{証明|title=絶対値の非負性|
絶対値の定義 <math>|a| = \begin{cases}
a, & \text{ if } a \ge 0 \\
-a, & \text{ if } a < 0
\end{cases}</math> より明らか。
:<math>|a| \ge 0</math>
<math>a \ge 0</math> の場合と <math>a < 0</math> の場合に分けて考える。まず <math>a \ge 0</math> のとき、
:<math>|a| = a \ge 0</math>
であるから成り立つ。次に <math>a \le 0</math> のとき、
:<math>|a| = -a</math>
であるが、''a'' は負なので -''a'' は正になる。よって、
:<math>|a| = -a \ge 0</math>
が成り立つ。したがって、<math>a \ge 0</math> のときも <math>a < 0</math> のときも <math>|a| \ge 0</math> が成り立ち、任意の実数 ''a'' について <math>|a| \ge 0</math> が成り立つ。∎
}}
このように <math>a \ge 0</math>, <math>a < 0</math> の2つの場合に場合分けをして考えることにより、絶対値の定義 <math>|a| = \begin{cases}
a, & \text{ if } a \ge 0 \\
-a, & \text{ if } a < 0
\end{cases}</math> から絶対値のさまざまな性質を導き出すことができます。たとえば、実数 ''a'', ''b'' の絶対値の積 <math>|a||b|</math> は次のように簡単にすることができます。
{{定理|title=絶対値の積|
任意の実数 ''a'', ''b'' について、
:<math>|a||b| = |ab|</math>
が成り立つ。
}}
{{証明|title=絶対値の積|
:<math>|a||b| = |ab|</math>
絶対値の定義 <math>|a| = \begin{cases}
a, & \text{ if } a \ge 0 \\
-a, & \text{ if } a < 0
\end{cases}</math> を用いて、''a'', ''b'' が同符号の場合と、''a'', ''b'' が異符号の場合に場合分けをして考える。
*<math>a \ge 0, b \ge 0</math>
*<math>a \ge 0, b < 0</math>
*<math>a < 0, b \ge 0</math>
*<math>a < 0, b < 0</math>
まず ''a'', ''b'' が同符号の場合、すなわち <math>a \ge 0, b \ge 0</math>（''a'', ''b'' がともに正）または <math>a < 0, b < 0</math>（''a'', ''b'' がともに負）の場合を考える。<math>a \ge 0, b \ge 0</math> のとき、
:<math>|a||b| = ab</math>
であるが、<math>a \ge 0, b \ge 0</math> より <math>ab \ge 0</math>、すなわち <math>ab = |ab|</math> であるから、
:<math>|a||b| = ab = |ab|</math>
が成り立つ。また <math>a < 0, b < 0</math> のとき、
:<math>|a||b| = (-a)(-b) = ab = |ab|</math>
であるから成り立つ。次に ''a'', ''b'' が異符号の場合、すなわち <math>a \ge 0, b < 0</math>（''a'' が正、''b'' が負）または <math>a < 0, b \ge 0</math>（''a'' が負、''b'' が正）の場合を考える。<math>a \ge 0, b < 0</math> のとき、
:<math>|a||b| = a(-b) = -ab</math>
であるが、<math>a \ge 0, b < 0</math> より <math>ab < 0</math> であるから、
:<math>|a||b| = a(-b) = -ab = |ab|</math>
が成り立つ（<math>x < 0</math> が負のとき <math>|x| = -x</math> に注意）。また <math>a < 0, b \ge 0</math> のとき、
:<math>|a||b| = (-a)b = -ab = |ab|</math>
が成り立つ。したがって、任意の実数 ''a'', ''b'' について <math>|a||b| = |ab|</math> が成り立つ。∎
}}
さらに絶対値の商 <math>\frac{|a|}{|b|}</math> について、次のことがいえます。
{{定理|title=絶対値の商|
任意の実数 ''a'', ''b'' について、
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \left| \frac{a}{b} \right|</math>
が成り立つ。
}}
{{証明|title=絶対値の商|
絶対値の定義 <math>|a| = \begin{cases}
a, & \text{ if } a \ge 0 \\
-a, & \text{ if } a < 0
\end{cases}</math> より、''a'', ''b'' がともに同符号の場合と、''a'', ''b'' がともに異符号の場合に場合分けをして考える。
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \left| \frac{a}{b} \right|</math>
まず <math>a \ge 0, b \ge 0</math> のとき、
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{b}</math>
<math>a \ge 0, b \ge 0</math> より <math>\frac{a}{b} \ge 0</math> であるから、
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{b} = \left| \frac{a}{b} \right|</math>
が成り立つ。<math>a < 0, b < 0</math> のとき、
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} = \left| \frac{a}{b} \right|</math>
が成り立つ。次に <math>a < 0, b \ge 0</math> のとき、
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}</math>
<math>a < 0, b \ge 0</math> より <math>\frac{a}{b} < 0</math> であり、任意の実数 <math>x < 0</math> について <math>-x = |x|</math> であるから、
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} = \left| \frac{a}{b} \right|</math>
が成り立つ。<math>a \ge 0, b < 0</math> のとき、
:<math>\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} = \left| \frac{a}{b} \right|</math>
が成り立つ。任意の実数 ''a'', ''b'' について <math>\frac{|a|}{|b|} = \left| \frac{a}{b} \right|</math> が成り立つ。∎
}}
===集合===
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