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290行目: {{定理\|type=命題\| :''m'' を整数とする。 ::<math>m^2</math> が偶数ならば、''m'' は偶数である。 }} {{証明\|title=命題\| :命題の対偶をとると、 ::''m'' が奇数ならば、<math>m^2</math> は奇数である。 :''m'' を奇数とすると、''m'' は整数 ''n'' を用いて、 ::<math>m = 2n + 1</math> :と表せる。両辺を2乗すると、 ::<math>\begin{array}{lcl} m^2 &=& (2n + 1)^2 \\ m^2 &=& (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 \\ 306行目: m^2 &=& 4n^2 + 4n + 1 \end{array}</math> :右辺から2をくくり出すと、 ::<math>m^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1</math> :''n'' が整数であることから <math>2n^2 + 2n</math> も整数であり、<math>m^2</math> は奇数である。したがって、整数 ''m'' が奇数ならば <math>m^2</math> は奇数であることが示せたので、<math>m^2</math> が偶数ならば ''m'' は偶数であることが示された。∎ }} {{証明\|title=<math>\sqrt{2}</math> の無理性\| :<math>\sqrt{2}</math> が有理数であると仮定すると、<math>\sqrt{2}</math> は 1 以外に公約数をもたない整数 ''m'', ''n'' を用いて次のように表せる。 ::<math>\sqrt{2} = \frac{m}{n}</math> :両辺を2乗すると、 ::<math>\begin{array}{lcl} (\sqrt{2})^2 &=& \left( \frac{m}{n} \right)^2 \\ 2 &=& \frac{m^2}{n^2} \end{array}</math> :両辺に <math>n^2</math> を掛けて分母を払うと、 ::<math>2n^2 = m^2</math> :よって <math>m^2</math> は偶数であり、''m'' も偶数であるので、''m'' は正の整数 ''k'' を用いて、 ::<math>m = 2k</math> :と表せる。これを <math>2n^2 = m^2</math> の右辺に代入すると、 ::<math>\begin{array}{lcl} 2n^2 &=& (2k)^2 \\ 2n^2 &=& 2^2 k^2 \\ 2n^2 &=& 4k^2 \end{array}</math> :両辺を2で割ると、 ::<math>n^2 = 2k^2</math> :よって <math>n^2</math> は偶数であり、''n'' も偶数である。''m'' と ''n'' が偶数（2の倍数）であることは、''m'' と ''n'' が 1 以外の公約数をもたないことと矛盾する。したがって、<math>\sqrt{2}</math> は無理数である。∎ }}

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