「Topic:数と式」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
Yuki Konno (トーク | 投稿記録) 編集の要約なし |
Yuki Konno (トーク | 投稿記録) 編集の要約なし |
||
28行目:
これを'''整数'''（せいすう、integers）といいます。整数は'''正の整数'''（せいのせいすう、positive integers）1, 2, 3, 4, 5, ... と、'''負の整数'''（ふのせいすう、negative integers）-1, -2, -3, -4, -5, ... と、0からなっています。自然数とは、正の整数 1, 2, 3, 4, 5, ... のことです。
}}
;補足
167 ⟶ 168行目:
ところで、二次方程式の解は一般に（重解でなければ）2個あるので、<math>x^2 - a = 0</math> の解である ''a'' の平方根も高々2個あると予想できます。実際、2乗して4になる数を考えると、<math>2^2 = 2 \times 2 = 4</math> だけでなく、<math>(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4</math> もあるので、4の平方根は 2 と -2 の2つあることがわかります。
}}
;補足
234 ⟶ 236行目:
分子・分母ともに整数の分数で表すことができる数を、'''有理数'''（ゆうりすう、rational numbers）といいます。有理数は整数の分数、つまり比 (ratio) になる数なので、''rational'' number（レイショナル・ナンバー）と呼ばれます。<math>\frac{1}{2}</math> や <math>\frac{2}{3}</math>、<math>-\frac{3}{4}</math> などは有理数です。
分子・分母ともに整数の分数で表すことができない数を、'''無理数'''（むりすう、irrational numbers）といいます。<math>\sqrt{2}</math> や <math>\pi \approx 3.141592653589793\ldots</math> は分子・分母が整数の分数で表すことができないので、無理数です（[[#√2が無理数であることの証明|<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることの証明]]を参照）。▼
;定義（有理数）▼
:整数 ''m'', ''n'' を用いて <math>r = \frac{m}{n}</math> と表すことのできる数 ''r'' を有理数という。▼
有理数と無理数をあわせて'''実数'''（じっすう、real numbers）といいます。実数は有理数と無理数に分けられます。有理数でない実数は無理数であり、無理数でない実数は有理数です。▼
▲
}}
;補足
:整数 ''n'' は <math>\frac{n}{1}</math> という分数で表すことができるので、有理数に含まれます。
▲分子・分母ともに整数の分数で表すことができない数を、'''無理数'''（むりすう、irrational numbers）といいます。<math>\sqrt{2}</math> や <math>\pi \approx 3.141592653589793\ldots</math> は分子・分母が整数の分数で表すことができないので、無理数です（[[#√2が無理数であることの証明|<math>\sqrt{2}</math> が無理数であることの証明]]を参照）。
▲有理数と無理数をあわせて'''実数'''（じっすう、real numbers）といいます。実数は有理数と無理数に分けられます。有理数でない実数は無理数であり、無理数でない実数は有理数です。
;注意
287行目:
===集合===
====√2が無理数であることの証明====
ある数が無理数であるかどうかの性質を'''無理性'''（むりせい、irrationality）といいます。<math>\sqrt{2}</math> の無理性の証明はいくつか知られていますが、ここでは背理法による証明を試みます。そのためにまず、次の
{{定理|type=命題|
:''m'' を整数とする。
::<math>m^2</math> が偶数ならば、''m'' は偶数である。
}}
:
::''m'' が奇数ならば、<math>m^2</math> は奇数である。
:''m'' を奇数とすると、''m'' は整数 ''n'' を用いて、
308 ⟶ 309行目:
::<math>m^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1</math>
:''n'' が整数であることから <math>2n^2 + 2n</math> も整数であり、<math>m^2</math> は奇数である。したがって、整数 ''m'' が奇数ならば <math>m^2</math> は奇数であることが示せたので、<math>m^2</math> が偶数ならば ''m'' は偶数であることが示された。∎
}}
:<math>\sqrt{2}</math> が有理数であると仮定すると、<math>\sqrt{2}</math> は 1 以外に公約数をもたない整数 ''m'', ''n'' を用いて次のように表せる。
::<math>\sqrt{2} = \frac{m}{n}</math>
330 ⟶ 332行目:
::<math>n^2 = 2k^2</math>
:よって <math>n^2</math> は偶数であり、''n'' も偶数である。''m'' と ''n'' が偶数（2の倍数）であることは、''m'' と ''n'' が 1 以外の公約数をもたないことと矛盾する。したがって、<math>\sqrt{2}</math> は無理数である。∎
}}
;補足
| |||