「Topic:数と式」の版間の差分
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*3 - 5 = -2
のような引き算の答えは、自然数 1, 2, 3, 4, 5, ... の中にはありません。そこで、何もないことをあらわす 0 という数と、0 より小さいことをあらわす -1, -2, -3, -4, -5, ... のような負の数を自然数につけくわえることによって、これらの引き算の答えを
:..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
または
これを'''整数'''(せいすう、integers)といいます。整数は'''正の整数'''(せいのせいすう、positive integers)1, 2, 3, 4, 5, ... と、0と、'''負の整数'''(ふのせいすう、negative integers)-1, -2, -3, -4, -5, ... からなっています。自然数とは、正の整数 1, 2, 3, 4, 5, ... のことです。整数全体の集まりは次のようにも書かれます。▼
: 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ...
▲これを'''整数'''(せいすう、integers)といいます。整数は'''正の整数'''(せいのせいすう、positive integers)1, 2, 3, 4, 5, ...
;定義(正負の数)
:0より大きい数を'''正の数'''(せいのすう、positive numbers)、0より小さい数を'''負の数'''(ふのかず、negative numbers)という。
;補足 :0は正の数でも負の数でもない 整数どうしの掛け算の答えは、必ず整数に
*1 × 1 = 1
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*0 × 5 = 0
それでは、以下のような整数どうしの割り算の答えは、整数
*<math>1 \div 2 = \frac{1}{2} = 0.5</math>
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*<math>1 \div 4 = \frac{1}{4} = 0.25</math>
このようなことから、整数全体の集まりに小数や分数をつけくわえて、足し算、引き算、掛け算、割り算の四則計算が自由に行える、もっと大きな数の集まりを作る
===実数===
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0.5 や 0.25 のような小数は、<math>\frac{1}{2}</math> や <math>\frac{1}{4}</math> のような分数を使って表すことができます。さらに、0.3333333333... のような無限に続く小数も、<math>\frac{1}{3}</math> という分数を使って表すことができます。このことから、小数の中には分数で表せるものが存在することがわかります。
0.5 や 0.25 のような小数と、0.3333333333... のような小数を区別するために、小数点以下の数字が限りなく続く小数を'''無限小数'''(むげんしょうすう、infinite decimal)
0.5 や 0.25
0.3333333333... や 0.318181818... のような無限小数は、よく見ると
循環小数には次のようなものがあります。
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*<math>\frac{100}{101} = 0.99009900990099009900\ldots</math>
循環小数の同じ数字が繰り返しになっている部分のことを、'''循環節'''(じゅんかんせつ、repeating)といいます。
循環小数をいちいち 2.142857... のように「...」を使って書くのは面倒であり、パッと見て循環節がわかりにくいので、 *<math>\frac{2}{3} = 0.\dot{6}</math>
74 ⟶ 81行目:
=====循環小数の分数化(発展)=====
<math>0.\dot{3}</math> のような循環小数を
:<math>x = 0.33333\ldots</math>
82 ⟶ 89行目:
:<math>10x = 3.33333\ldots</math>
<math>10x - x
:<math>\begin{array}{lcl}
103 ⟶ 110行目:
\end{array}</math>
このように、一般に ''n'' 桁の循環節をもつ循環小数 ''x'' は、<math>10^n</math> 倍して <math>10^n x - x = (10^n - 1)x</math> を計算することで循環節を打ち消
;注意
:厳密には <math>3.333\ldots - 0.333\ldots = 3</math> のように循環節が打ち消しあうという
;問題
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x &=& 1
\end{array}</math>
:したがって
;別解
132 ⟶ 139行目:
0.999\ldots &=& 1
\end{array}</math>
:したがって
;解説
:0.999... は 1 に等しい。厳密な証明は数学IIIで行うが、0.999... は限りなく 1 に近づいていく無限小数であり、そのような無限小数は 1 に等しいと定義する。
::<math>0.\dot{9} = 0.999\ldots = 1</math>
:言い換えれば、まったく同じ数を表すのに 1 と 0.999... という2通りの表し方がある。限りなく 1 に近づいていく無限小数 0.999... が 1 と等しくないとすると、0.999... と 1 の間は途切れているということになってしまい、なめらかにつながった数直線で数を表すことができなくな
====平方根====
145 ⟶ 152行目:
[[Image:Square root of 2 triangle.svg|thumb|200px|一辺の長さが1の正方形の対角線の長さは <math>\sqrt{2}</math>]]
ここで、一辺の長さが1の正方形を考えます。この正方形の面積は 1 × 1 = 1 なので、この正方形を対角線で区切って半分にした三角形の面積は <math>\frac{1}{2}</math> です。この面積が <math>\frac{1}{2}</math> の三角形を4つ
:<math>\begin{array}{lcl}
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