「Topic:数と式」の版間の差分

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*3 - 5 = -2
 
のような引き算の答えは、自然数 1, 2, 3, 4, 5, ... の中にはありません。そこで、何もないことをあらわす 0 という数と、0 より小さいことをあらわす -1, -2, -3, -4, -5, ... のような負の数を自然数につけくわえることによって、これらの引き算の答えをあらわす考えることができます。
 
:..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
 
または
これを'''整数'''(せいすう、integers)といいます。整数は'''正の整数'''(せいのせいすう、positive integers)1, 2, 3, 4, 5, ... と、0と、'''負の整数'''(ふのせいすう、negative integers)-1, -2, -3, -4, -5, ... からなっています。自然数とは、正の整数 1, 2, 3, 4, 5, ... のことです。整数全体の集まりは次のようにも書かれます。
 
: 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ...
 
これを'''整数'''(せいすう、integers)といいます。整数は'''正の整数'''(せいのせいすう、positive integers)1, 2, 3, 4, 5, ... と、0と、'''負の整数'''(ふのせいすう、negative integers)-1, -2, -3, -4, -5, ... と、0からなっています。自然数とは、正の整数 1, 2, 3, 4, 5, ... のことです。整数全体の集まりは次のようにも書かれます。
 
;定義(正負の数)
:0より大きい数を'''正の数'''(せいのすう、positive numbers)、0より小さい数を'''負の数'''(ふのかず、negative numbers)という。'''

;補足
:0は正の数でも負の数でもない'''
 
整数どうしの掛け算の答えは、必ず整数になりれます。ここまでは小学校算数と中学校数学の復習です。
 
*1 × 1 = 1
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*0 × 5 = 0
 
それでは、以下のような整数どうしの割り算の答えは、整数の中含まれなっているでしょうか。
 
*<math>1 \div 2 = \frac{1}{2} = 0.5</math>
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*<math>1 \div 4 = \frac{1}{4} = 0.25</math>
 
このようなことから、整数全体の集まりに小数や分数をつけくわえて、足し算、引き算、掛け算、割り算の四則計算が自由に行える、もっと大きな数の集まりを作る必要がある考えられます。
 
===実数===
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0.5 や 0.25 のような小数は、<math>\frac{1}{2}</math> や <math>\frac{1}{4}</math> のような分数を使って表すことができます。さらに、0.3333333333... のような無限に続く小数も、<math>\frac{1}{3}</math> という分数を使って表すことができます。このことから、小数の中には分数で表せるものが存在することがわかります。
 
0.5 や 0.25 のような小数と、0.3333333333... のような小数を区別するために、小数点以下の数字が限りなく続く小数を'''無限小数'''(むげんしょうすう、infinite decimal)といいます。それに対して、小数点以下の数字がどこかで終わる小数を'''有限小数'''(ゆうげんしょうすう、finite decimal)といいます。
 
0.5 や 0.25 のような小数は有限小数です。0.3333333333... や 0.31818181818... のような小数は無限小数です。
 
0.3333333333... や 0.318181818... のような無限小数はよく見ると小数点以下で 33333... や 181818... のように、同じ数字の並びが繰り返されていることがわかります。このように小数点以下のどこかで決まった数字の並びが繰り返される無限小数のことを、とくに'''循環小数'''(じゅんかんしょうすう、repeating decimal)といいます。
 
循環小数には次のようなものがあります。
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*<math>\frac{100}{101} = 0.99009900990099009900\ldots</math>
 
循環小数の同じ数字が繰り返しになっている部分のことを、'''循環節'''(じゅんかんせつ、repeating)といいます。

循環小数をいちいち 2.142857... のように「...」を使って書くのは面倒であり、パッと見て循環節がわかりにくいので、これからは循環節の最初の数字と最後の数字、たとえば 2.142857... の 1 と 7 の上に点をつけて表すことにします。0.333... この表し方を使って上の循環小数を書き直すと、次のように循環節が1桁しかい場合は、3だけに点をつけます。
 
*<math>\frac{2}{3} = 0.\dot{6}</math>
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=====循環小数の分数化(発展)=====
<math>0.\dot{3}</math> のような循環小数を(分子・分母ともに整数の)分数に直すには、次のような計算をします。まず循環小数を ''x'' とおくと、
 
:<math>x = 0.33333\ldots</math>
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:<math>10x = 3.33333\ldots</math>
 
<math>10x - x = (10 - 1)x = 9x</math> を計算して両辺を9で割ると、
 
:<math>\begin{array}{lcl}
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\end{array}</math>
 
このように、一般に ''n'' 桁の循環節をもつ循環小数 ''x'' は、<math>10^n</math> 倍して <math>10^n x - x = (10^n - 1)x</math> を計算することで循環節を打ち消して整数にし、両辺を <math>10^n - 1</math> で割ることで分数に直すことができます。
 
;注意
:厳密には <math>3.333\ldots - 0.333\ldots = 3</math> のように循環節が打ち消しあうという計算ことが正しいことがのかどうか示されていませんが、この計算の妥当性は数学IIIで学習する[[Topic:極限|極限]]の概念を用いて[[Topic:極限#無限等比級数の和|無限等比級数の和]]を考えることによって正しいことが証明されます。
 
;問題
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x &=& 1
\end{array}</math>
:したがって 0.999... = 1。
 
;別解
132 ⟶ 139行目:
0.999\ldots &=& 1
\end{array}</math>
:したがって 0.999... = 1。
 
;解説
:0.999... は 1 に等しい。厳密な証明は数学IIIで行うが、0.999... は限りなく 1 に近づいていく無限小数であり、そのような無限小数は 1 に等しいと定義する。
::<math>0.\dot{9} = 0.999\ldots = 1</math>
:言い換えれば、まったく同じ数を表すのに 1 と 0.999... という2通りの表し方がある。限りなく 1 に近づいていく無限小数 0.999... が 1 と等しくないとすると、0.999... と 1 の間は途切れているということになってしまい、なめらかにつながった数直線で数を表すことができなくなる。したがって、0.999... は 1 に等まう
 
====平方根====
145 ⟶ 152行目:
[[Image:Square root of 2 triangle.svg|thumb|200px|一辺の長さが1の正方形の対角線の長さは <math>\sqrt{2}</math>]]
 
ここで一辺の長さが1の正方形を考えます。この正方形の面積は 1 × 1 = 1 なので、この正方形を対角線で区切って半分にした三角形の面積は <math>\frac{1}{2}</math> です。この面積が <math>\frac{1}{2}</math> の三角形を4つ集め組み合わせると、面積が <math>\frac{1}{2} \times 4 = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math> の大きな正方形ができあがります。大きな面積が2の正方形の一辺の長さ ''x'' は、最初に考えた一辺の長さが1の正方形の対角線の長さに等しくなり、次の方程式を満たします。
 
:<math>\begin{array}{lcl}