「Topic:数と式」の版間の差分
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===実数===
0.5 や 0.25 のような小数は、<math>\frac{1}{2}</math> や <math>\frac{1}{4}</math> のような分数を使って表すことができます。さらに、0.3333333333... のような無限に続く小数も、<math>\frac{1}{3}</math> という分数を使って表すことができます。このことから、小数の中には分数で表せるものが存在することがわかります。
▲====有限小数と無限小数（循環小数）====
0.5 や 0.25 のような小数と、0.3333333333... のような小数を区別するために、小数点以下の数字が限りなく続く小数を'''無限小数'''（むげんしょうすう、infinite decimal）といいます。それに対して、小数点以下の数字がどこかで終わる小数を'''有限小数'''（ゆうげんしょうすう、finite decimal）といいます。
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これでだいぶ見やすくなりました。
;循環小数が表す分数（発展）
<math>0.\dot{3}</math> のような循環小数を（分子 :<math>x = 0.33333\ldots</math>
102 ⟶ 103行目:
1000000x - x &=& 2142857.\dot{1}4285\dot{7} - 2.\dot{1}4285\dot{7} \\
999999x &=& 2142855 \\
x &=& \frac{2142855}{999999} \\
x &=& \frac{15 \times 142857}{7 \times 142857} \\
x &=& \frac{15}{7}
\end{array}</math>
このように、一般に ''n'' 桁の循環節をもつ循環小数 ''x'' は、<math>10^n</math> 倍して <math>10^n x - x = (10^n - 1)x</math> を計算することで循環節を打ち消して整数にし、両辺を <math>10^n - 1</math> で割ることで分数に直すことができます。
;注意
:厳密には <math>3.333\ldots - 0.333\ldots = 3</math> のように循環節が打ち消しあうという計算が正しいことが示されていませんが、この計算は数学IIIで学習する[[Topic:極限|極限]]の概念を用いて、[[Topic:極限#無限等比級数の和]]を考えることによって正しいことが証明されます。
;問題
:循環小数 <math>0.\dot{9}</math> を分数（または整数）に直せ。
;解答
<math>x = 0.999\ldots</math> とおくと、
:<math>\begin{array}{lcl}
10x - x &=& 9.999\ldots - 0.999\ldots \\
9x &=& 9
\end{array}</math>
両辺を9で割ると、
:<math>\begin{array}{lcl}
x &=& \frac{9}{9} \\
x &=& 1
\end{array}</math>
したがって 0.999... = 1。
;別解
<math>0.333\ldots \times 3 = 0.999\ldots</math> であるから、
:<math>\begin{array}{lcl}
0.333\ldots &=& \frac{1}{3} \\
0.333\ldots \times 3 &=& \frac{1}{3} \times 3 \\
0.999\ldots &=& \frac{3}{3} \\
0.999\ldots &=& 1
\end{array}</math>
したがって 0.999... = 1。
;解説
0.999... は 1 に等しい。厳密な証明は数学IIIで行うが、0.999... は限りなく 1 に近づいていく無限小数であり、そのような無限小数は 1 に等しいと定義する。
:<math>0.\dot{9} = 0.999\ldots = 1</math>
言い換えれば、まったく同じ数を表すのに 1 と 0.999... という2通りの表し方がある。限りなく 1 に近づいていく無限小数 0.999... が 1 と等しくないとすると、0.999... と 1 の間は途切れているということになってしまい、なめらかにつながった数直線で数を表すことができなくなる。したがって、0.999... は 1 に等しい。
====平方根====
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