「√2が無理数であることの証明」の版間の差分
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両辺を平方すると、<math>2=\frac{q^2}{p^2}</math>となり、さらに、<math>2p^2=q^2</math>と変形することができる。
=== 証明1 ===
ここで、<math>p</math>は偶数であり、<math>p^2</math>は4の倍数である。すなわち、<math>q^2</math>も偶数になり、<math>q</math>は偶数になる。<math>p,q</math>が少なくとも2で割り切ることができてしまい、互いに素でなくなってしまう。ここで、最初の仮定が間違っていたことがわかる。
よって、'''<math>\sqrt2</math>は無理数である。'''
=== 証明2 ===
両辺の素因数の個数を考える。
<math>p</math>は<math>m</math>個の素因数を、<math>q</math>は<math>n</math>個の素因数を持つと仮定すると、
両辺のの素因数の個数の関係は<math>2m+1=2n</math>と表される。
ここで、<math>n,m</math>のどちらかが整数でなくなり、これは、素因数の個数は整数個であることに反する。ここで、最初の仮定が間違っていたことがわかる。
よって、'''<math>\sqrt2</math>は無理数である。'''
==== 補足 ====
ここでは、素因数分解の一意性を用いている。なお、一般的に「小数個／分数個」ということはありえない。
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[[Category:無理数]]
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