数学 中学校一年生レベル

中学校数学 一年生-数量/正の数・負の数

ここでは中学校における足し算、引き算、掛け算、割り算などについて学習したいと思います。

3 + 5

7 - 3

などは小学校でもやって来た事ですが、中学校からは

3 - 6

7 - ( - 3 )

などといった、答えにマイナスがあったり、()を用いてもとの数からマイナスの数値をさらに引くことなども出てきます。 他にはマイナスの数値を掛けたり、割ったりする計算もあります。それらについて一緒に学習して行きましょう。

正の数、負の数

まず、このページを見ている方は、中学校一年生レベルの計算が出来ない、あるいは出来ない方に教えたい方だと思います。

数直線が分からない？

()を使った計算が分からない？

マイナスを使った掛け算、割り算が分からない？

とりあえず、数学が嫌いという前提は忘れて、レッツトライの精神で行きましょう。

正・負の数の計算

まず、

4 + 5 = 9

という式があります。 この式を

「前に向かって4歩進んだ後に前に向かって5歩進んだら、全部で前に9歩進んだ」、と考えた時、

   4       +      5      =      9
前に4歩 加えて 前に5歩 全部で 前に9歩

4 - 5 = -1

は、「前に向かって4歩進んだ後に、後ろを振り向いて、5歩進んだら、全部で後ろに1歩進んだ」、つまり

   4            -         (      +           5   )  =         -1
前に4歩  後ろを振り向いて   向いている方に  5歩   全部で  後ろに1歩

と考えることが出来ます。

同様に、

4 - ( - 5 ) = 9

は、「前に4歩進んだあと、後ろに振り向いて、そのまま向いている方向の逆に5歩進むと、(最初の地点から向かって)前に9歩進んだ」、つまり、

   4        -       (       -          5    )   =          9
前に4歩 振り向いて   向いている逆に 5歩進む   全部で 前に9歩進んだ

は、

4 + 5 = 9

と同じ。ややこしくなって来ましたが、つまり

○ - ( - △ ) = □

の問題は、マイナスの△という数を○から引くと、結局、○に△を足すことになる、ということです。

マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか

プラスの数とマイナスの数の掛け算の結果を表にまとめると次のようになる。
正負の数の積の符号

×	＋	−
＋	＋	−
−	−	＋

具体的な数で書くと次のようになる。

(+2) × (+3) = (+6)
(+2) × (-3) = (-6)
(-2) × (+3) = (-6)
(-2) × (-3) = (+6)

これを見ると、

• プラス×プラス、マイナス×マイナスのように同じ符号のかけざんはプラス、
• プラス×マイナス、マイナス×プラスのように違う符号のかけざんはマイナス

になることがわかる。

数直線でイメージすると、マイナスの数をかけるとは、反対側にいくということである。たとえば+2の場所にいて、-3をかけると、3倍なので6になるが、マイナスをかけたので反対側の-6になる。

The number line

これをふまえれば、-2に-3をかけると、反対側の+6になることがわかる。ただし、これはいわば(-2) × (-3) = (+6)であることがわかった上での、マイナスの数の計算のおぼえかたのようなものであり、(-2) × (-3) = (+6)であることの証明ではない。証明は別にある。

証明

まず、

-A × -B

= (-1) × A × (-1) × B

= (-1) × (-1) × A × B

となるので、マイナス×マイナスがプラスになることを証明するには、(-1) × (-1) = (+1)であることを証明すれば十分である。

次に、分配法則を使うために、(-1) × (-1)に何かをつけ足して(-1)をくくれるような式を考える。たとえば(-1) × (-1) + (+1) × (-1)という計算を考えると、

(-1) × (-1) + (+1) × (-1)

= ((-1) + (+1)) × (-1)

= 0 × (-1)

= 0

となり、(+1) × (-1) = (-1)であるから、答えが0になったということは、(-1) × (-1)は(+1)にほかならない。

このように、マイナスの数にも分配法則が使えると仮定すると、マイナス×マイナスはプラスであることが証明できる。