となることを証明する。
cos 2 θ = 1 − sin 2 θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta =1-\sin ^{2}\theta } ・・・①
二倍角公式 ( cos 2 θ = cos 2 θ − sin 2 θ {\displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta } )に①の式を代入すると、
cos 2 θ = 1 − 2 sin 2 θ {\displaystyle \cos 2\theta =1-2\sin ^{2}\theta } ・・・②
②の式を変形すると、
sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}} ・・・③
③の式に θ = θ 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\theta }{2}}} を代入すると、
sin 2 θ 2 = 1 − cos θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}} ・・・④
sin 2 θ = 1 − cos 2 θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta } ・・・①’
二倍角公式 ( cos 2 θ = cos 2 θ − sin 2 θ {\displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta } )に①‘の式を代入すると、
cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 {\displaystyle \cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1} ・・・②’
②’の式を変形すると、
cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}} ・・・③’
③’の式に θ = θ 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\theta }{2}}} を代入すると、
cos 2 θ 2 = 1 + cos θ 2 {\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}} ・・・④’
①”の式に θ = θ 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\theta }{2}}} を代入すると、
tan 2 θ 2 = sin 2 θ 2 cos 2 θ 2 {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}} ・・・②”
②”の式に④,④’の式を代入すると、
tan 2 θ 2 = 1 − cos θ 1 + cos θ {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}
) より、
・・・①
)に①の式を代入すると、
・・・②
・・・③
を代入すると、
・・・④
) より、
・・・①’
)に①‘の式を代入すると、
・・・②’
・・・③’
を代入すると、
・・・④’
・・・①” を代入すると、
・・・②”
