加法定理の証明

証明

• $\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

（すべて複号同順）

となることを証明する。

$\triangle ABC$ において、$BC=a$ , $CA=b$ , $AB=c$ , $\angle CAB=\alpha$ , $\angle ABC=\beta$ , $\angle BCA=\gamma$ とし、 $\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とする。

正弦定理より、 $a=2R\sin \alpha$・・・① , $b=2R\sin \beta$・・・② , $c=2R\sin \gamma$・・・③

第一余弦定理($c=a\cos \beta +b\cos \alpha$)に① , ② , ③ の式を代入すると、 ${\begin{aligned}2R\sin \gamma &=2R\sin \alpha \cos \beta +2R\sin \beta \cos \alpha \\\sin(\pi -\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \end{aligned}}$・・・④

④の式において、 $\beta :=-\beta$ とすると、 $\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

したがって、 $\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$・・・⑤

⑤の式において、 $\alpha :={\frac {\pi }{2}}-\alpha$ とすると、

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$・・・⑥

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$・・・⑦

⑦の式に $\theta =\alpha \pm \beta$ を代入すると、

${\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\end{aligned}}$

分母分子に ${\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}$ をかけると、

${\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {{\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta )}{{\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}(\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta )}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}$