円周率が3.05より大きいことの証明

証明

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円に内接する正十二角形

半径 の円に内接する正十二角形を考える。 この円の円周は、 
このとき、正十二角形の一辺の長さをaとすると、余弦定理より
 
したがって、
 
正十二角形の周の長さは 
また、円の円周の長さは正十二角形の周の長さより長い。
 
両辺を2乗して、 
 
 とすると、
 
 
 
よって、