a sin x + b cos x = r sin ( x + α ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x=r\sin(x+\alpha )} となることを証明する。
座標が(a,b)である点をPとし、OP＝rとする。
このとき、 r = a 2 + b 2 {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} である。
OPがx軸の正の向きとなす角を α {\displaystyle \alpha } とおくと、 a = r cos α {\displaystyle a=r\cos \alpha } で、 b = r sin α {\displaystyle b=r\sin \alpha } である。
元の式の右辺に代入して、
a sin x + b cos x = r cos α sin x + r sin α cos x = r ( cos α sin x + sin α cos x ) = r sin ( x + α ) {\displaystyle {\begin{aligned}a\sin x+b\cos x&=r\cos \alpha \sin x+r\sin \alpha \cos x\\&=r(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x)\\&=r\sin(x+\alpha )\\\end{aligned}}}
(ただし、 α {\displaystyle \alpha } は sin α = b a 2 + b 2 {\displaystyle \sin \alpha ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} と、 cos α = a a 2 + b 2 {\displaystyle \cos \alpha ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} を同時に満たすものである。)
