ヘロンの公式の証明

証明

$\bigtriangleup {ABC}$ において、$AB=c$ , $BC=a$ , $CA=b$ とすると、$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ただし、$s={\frac {a+b+c}{2}}$ となることを証明する。

AからBCに垂線を引き、その垂線の足をDとする。また、 $AD=h$ , $BD=d$ とする。

$\bigtriangleup {ABD}$ において、三平方の定理より、 $h^{2}=c^{2}-d^{2}$ ・・・①

$\bigtriangleup {ACD}$ において、三平方の定理より、 $h^{2}=b^{2}-(a-d)^{2}$ ・・・②

① , ②より、 ${\begin{aligned}c^{2}-d^{2}&=b^{2}-(a-d)^{2}\\c^{2}-d^{2}&=b^{2}-a^{2}+2ad-d^{2}\\d&={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}}\end{aligned}}$

この式を①に代入して、 ${\begin{aligned}h^{2}&=c^{2}-({\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}})^{2}\\&=(c+{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}})(c-{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}})\end{aligned}}$

両辺に $4a^{2}$ をかけて、 ${\begin{aligned}4a^{2}h^{2}&=(2ac+a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ac-a^{2}+b^{2}-c^{2})\\4a^{2}h^{2}&=((a+c)^{2}-b^{2})(b^{2}-(a-c)^{2})\\4a^{2}h^{2}&=(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)\\{\frac {ah}{2}}&={\frac {\sqrt {(a+c+b)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}}\end{aligned}}$

この時、$s={\frac {a+b+c}{2}}$ とすると、 ${\frac {ah}{2}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$