2個の集合 A{\displaystyle A} , B{\displaystyle B} において、 (A∪B)c=Ac∩Bc{\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}} , (A∩B)c=Ac∪Bc{\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}} となることを証明する。(Ac{\displaystyle A^{c}} は A{\displaystyle A} の補集合を表す。)
X∈(A∪B)c⇔X∉A∪B⇔X∉AandX∉B⇔X∈AcandX∈Bc⇔X∈Ac∩Bc{\displaystyle {\begin{aligned}X\in (A\cup B)^{c}&\Leftrightarrow X\notin A\cup B\\&\Leftrightarrow X\notin AandX\notin B\\&\Leftrightarrow X\in A^{c}andX\in B^{c}\\&\Leftrightarrow X\in A^{c}\cap B^{c}\end{aligned}}} したがって、(A∪B)c=Ac∩Bc{\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}} ・・・①
①より、 (P∪Q)c=Pc∩Qc(P∪Q)cc=(Pc∩Qc)c=P∪Q{\displaystyle {\begin{aligned}(P\cup Q)^{c}&=P^{c}\cap Q^{c}\\{(P\cup Q)^{c}}^{c}&=(P^{c}\cap Q^{c})^{c}\\&=P\cup Q\end{aligned}}} A:=Pc,B:=Qc{\displaystyle A:=P^{c},B:=Q^{c}} とすれば、 (A∩B)c=Ac∪Bc{\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}